SHPORA.net :: PDA

Login:
регистрация

Main
FAQ

гуманитарные науки
естественные науки
математические науки
технические науки
Search:
Title: | Body:

Обра́тная ма́трица — такая матрица A-1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:




Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.





5. Метод обратной матрицы (для решения определенных систем)

Рассмотрим систему уравнений с неизвестными



Теорема - Если определитель матрицы



отличен от нуля , то решение системы (2.7) может быть найдено по формуле , где - матрица, обратная к матрице , - вектор-столбец свободных членов.

6. Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Обычно ранг матрицы A обозначается ( ) или .

Решить систему по формулам Крамера.



Решение: Решим систему по формулам Крамера.



, значит, система имеет единственное решение.













Ответ: .

7. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть у нас есть система N линейных уравнений

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... a3NxN = b3

...

aN1x1 + aN2x2 + aN3x3 + ... aNNxN = bN

где xi - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные члены в уравнениях, i,j пробегают значения от 1 до N.

Цель задачи - зная aij и bi найти xi.

Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1

a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2

a33x3 + ... a3NxN = b3

...

... aNNxN = bN

Особенность этой системы - в строках с номером i все коэффициенты aij при j<i равны нулю.

Если мы смогли привести нашу систему уравнений к такому треугольному виду, то решить уравнения уже просто. Из последнего уравнения находим xN= bN / aNN. Дальше подставляем его в предпоследнее уравнение и находим из него xN-1. Подставляем оба найденных решения в следующее с конца уравнение и находим xN-2. И так далее, пока не найдем x1, на чем решение заканчивается. Такая процедура называется обратной прогонкой.

Теперь перейдем к вопросу как же добиться того, чтобы система стала треугольной.

Из линейной алгебры (см. например, Крутицкая Н.И., Тихонравов А.В., Шишкин А.А., Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями) известно что если к некоторой строке системы уравнений прибавить любую линейную комбинацию любых других строк этой системы, то решение системы не изменится. Под линейной комбинацией строк понимается сумма строк, каждая из которых у множается на некоторое число (в принципе, любое).

Нужно, чтобы во второй строке получилось уравнение, в которой отсутствует член при x1. Прибавим к этой строке первую строку, умноженную на некоторое число M.

(a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1)*M +

a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2

Получим

(a11*М + a21) x1 + ... = b1*M + b2

Для того, чтобы член при x1 равнялся нулю, нужно, чтобы M = - a21 / a11. Проделав эту операцию, получившееся уравнение запишем вместо второго и приступим к третьему уравнению. К нему мы прибавим первое уравнение, умноженное на M = - a31 / a11 и тоже получим ноль вместо члена при x1. Такую операцию нужно проделать над всеми остальными уравнениями. В результате получим систему такого вида:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1

a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2

a32x2 + a33x3 + ... a3NxN = b3

...

aN2x2 + aN3x3 + ... aNNxN = bN

После этого будем избавляться от членов при x2 в третьем, четвертом, N-ом уравнении. Для этого нужно к уравнению с j-м номером прибавить 2-ое уравнение, умноженное на M = - aj2 / a22. Проделав эту операцию над всеми остальными уравнениями, получим систему где нет членов с x2 в уравнениях с номером больше 2.

И так далее... Проделав это для третьего члена, четвертого... до тех пор, пока не кончатся уравнения, получим в итоге систему треугольного вида.

8.Линейные операции над векторами

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ¬¬ ), если  > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ¬ ), если  < 0.

9. Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений: , , ,

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность.

• Геометрические свойства векторного произведения- Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

• Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и (см. Рисунок 1)

• Если — единичный вектор, ортогональный векторам и и выбранный так, что тройка - правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:



• Если — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор, — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к , — единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора справедлива формула



• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.



На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:



Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0, если векторы параллельны.

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:



т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что



• Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :



• Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":



В частности,

• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

• Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.





Три вектора, определяющие параллелепипед.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:



(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

10. Линия в пространстве определяется совместным заданием двух уравнений

,

как пересечение двух поверхностей и . Если , , суть уравнения трех поверхностей, то для разыскания точек их пересечения нужно совместно решить систему

, , .

Каждое решение x,y,z этой системы представляет собой координаты одной из точек пересечения данных поверхностей.

Способы аналитического задания

1. - векторно-параметрическое уравнение.

2. - параметрические уравнения.

3. - явное уравнение.

4. - неявное уравнение.

11. Прямая на плоскости



Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

В векторном виде: + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

12. Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений





И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

13. Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства. Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. Часто встречающимся является предел числовой последовательности.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа, значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Функция имеет предел в предельной точке области определения , если для всех значений , достаточно мало отличающихся от , значение как угодно близко к .

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:



• Второй замечательный предел:



14. Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.

Правило Бернулли[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1. или ;

2. f(x) и g(x) дифференцируемы в проколотой окрестности a;

3. в проколотой окрестности a;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

15. Функции нескольких переменных

1. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области  ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y).



z=f(x,y)



2. Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

3. Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции



z=f(x+x, y+y)f(x,y)



Частное приращение функции

x z=f(x+x)f(x,y)



z=f(x,y+y)f(x,y)



Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений.

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция

16. Пусть D(x, y) - некоторое множество точек плоскости Oxy. Если каждой упорядоченной паре чисел (x, y) из области D соответствует определенное число z  Z  R, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y. Переменные x и y называются независимыми переменными, или аргументами, D - областью определения, или существования, функции, а множество Z всех значений функции - областью ее значений. Функциональную зависимость z от x и y записывают в виде z = f(x, y), z = z(x, y),

z = F(x, y) и т.д. Например, объем цилиндра V = R2Н есть функция от радиуса R его основания и от высоты Н, т.е. V = f(R, Н), которая дает возможность, зная значения независимых переменных R и Н, установить соответствующее значение для V.

17. Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

,

где С — произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла









Если , то и , где — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

18. Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x0 < x1 < x2 < xn = b Тогда говорят, что произведено разбиение RR отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм ΘR при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξi, т.е. (1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b] – определение интеграла по Риману.



• a – нижний предел.

• b – верхний предел.

• f(x) – подынтегральная функция.

• λR - длина частичного отрезка.

• σR – интегральная сумма от функции f(x) на [a;b] соответствующей разбиению R.

• λR - максимальная длина част. отрезка.

Определение интеграла на языке ε, δ: Число I – называется определённым интегралом от f(x) на [ a ; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для любого разбиения R отрезка [ a ; b ]: λR < δ, выполняется неравенство: |I- σR | = |∑n-1i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi ; xi+1] Тогда I = ∫abf(x)dx

19.Приложения для определенного интеграла для решения геометрических задач

Геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x) (см. рис. 5.).



20.Числовые ряды.Необходимый признак сходимости рядов

Числовые ряды - выражение типа

- члены ряда, - общий член ряда.

Ряд считается заданным, если задан общий член. Сумма первых n членов ряда называется n-ной суммой членов ряда.

называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится.

Если предел не существует, то ряд (1) считается расходящимся.

Теорема (необходимый признак сходимости числового ряда). Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Если не выполняется, то расходится.

21.Признак доламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится.

В частности, если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если ρ < 1, а если ρ > 1 — расходится (признак сходимости д’Аламбера в предельной форме).

22.Признак Каши.Лейбница

Интегральный признак Коши — признак сходимости убывающего положительного числового ряда.

Пусть для функции f(x) выполняется:

1) (функция принимает только положительные значения)

2) (функция монотонно убывает)

3)

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

23.Функциональные степенные ряды.Разложение функции в степенной ряд

Функциональный ряд , где - числовая последовательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале с центром в точке . Число R - радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам , или . Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости. Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд называется рядом Тейлора для функции в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена: .

24.Основные понятия комбинаторики.Комбинации перестановки,размещения,сочетания



Комбинаторика изучает количество комбинаций подчиненных определенным условиям, которые можно состаить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечноого множества. При непосредственном вычислении вероятности часто используют формулы комбинаторики.

1)"Престановками" называют комбинации, сост из одних и тех же n различн эл-тов и отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn=n!

2)"Размещениями" называют комбинации, сост-е из n различн эл-тов по m эл-тов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Amn=n*(n-1)*(n-2)...(n-m+1)

3)"Сочетанием" наз-т комбинации, сост-е из оазличных эл-тов по m эл-тов, кот. отличаются хотя бы одном эл-том. Число сочетаний Cmn=n!/(m!(n-m)!) Подчеркиваем, что числа размещений, перестановок и сочетаний свызаны равенством Amn=Pm*Cmn



25.Бином Ньютона.Свойства биноминальных коэфициентов