SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Опр.Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А

окрестность (х0):xокрестности (x0) выполняется условие f(x)окрестности.

Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.

Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т.х0(правым предело f(x0))

если f(x)A при хх0, х>x0

Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0

выполняется ус-ловие f(xn)A

Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(xx0+o)f(x) где запись xx0+o как раз означает

стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0.

Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o);f(x0-)

Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и

достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние

пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т.е. f(x0+)=

f(x0-)=lim(xx0)f(x)=A

Док-во

а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x) А независимо от

того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или <, а это означает равенство 1.

б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что 

просто пре-дел. Возьмем произвольную {xn}х0 разобьем если это необходимо эту

последовательность на две подпоследовательности.

1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n};

2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};

x’nx0-o x’’nx0+o, т.к. односторонние пределы  и равны, то f(x‘n)A и f(x‘‘n)

A по-этому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа:

1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)A на основании связи между сходимостью

последователь-ностей



Пределы функции на бесконечности

Два замечательных предела

Бесконечно малые фуекции и их сравнения

Непрерывные функции. Непрерывность.