SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки Два замечательных предела 1) lim(x0)sin/x=1 2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотноше-ние: lim(n)(1+1/n)^n=e (1) lim(n0)(1+x)^1/x=e (2) t=1/x => при х0 t из предела (2) => lim(x) (1+1/x)^x=e (3) Док-во 1)x+ n x:n=[x] => nx<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n(1+1/n)^x (1+1/n)^(n+1) (4) Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х+, n) lim(n)(1+1/(n+1))=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n) (1+1/(n+1))^n+1lim(n)1/(1+1/(n+1))=e lim(n)(1+1/n)^n+1= lim(n)(1+1/n)^n lim(n)(1+1/n)=e1=e 2) x-. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y +, при x-. lim(x-)(1+1/x)^x=lim(y+)(1-1/y)^-y= lim(y+)((y-1)/y)^y=lim(y+)(1+1/(y- 1))^y=e 3) Пусть x произвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся к мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x)(1+1/xn)^xn=e (5) Условие 5~3, т.е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}+, {x‘‘n}-. Для каждой посл-ти по доказанному в п.1 и п.2 справедливо предельное соотно-шение 5 если заменить xnx‘nx‘‘n. По т-ме о связи |