SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки Классификация т-ки разрыва Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода. а) если в т-ке х0 оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f. б) если в т-ке х0 оба 1-стороних предела f(x0), которые не равны между собой f(x0+)f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода. в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода. При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во вни-мание сл. замечания: 1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния. 2) Если ф-ция задана кусочно, т.е. различными соотношениями на частях своей обл. опр., то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр. 3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва: график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл- тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги. I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки.(св-во локал. огра-нич-ти) Док-во использует опр-ние на языке и . Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое >0 можно найти >0 f(x)-f(x0)< при х-х0< ~ f(x0)-<f(x)<f(x0)+ в окрестности в т-ке х0. II) Св-ва сохранения знака Если f(x) непр. в т-ке х0 и f(x0)0 то окрестность этой т-ки в которой ф-ция принимает тот же знак что и знак х0. III)Теорема о промежуточных знач. ф-ции f(x) непр. на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B при-чем AB => C(A,B) c(a,b):f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘). IV)Теорема о прохожд. непр. ф-ции через 0. Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то т-ка с (a,b). Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления от-резка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана. Пусть f(d)0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действи-тельно если допустить, что f(c)0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой окрестности, т-ке с f име-ет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окре-стность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков. |