SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Суть метода заключается в том, что с по¬мощью элементарных преобразований

системы либо получают систему содержащую противоречивое уравнение (и тогда

система оказывается несовместной), либо система приводится к некоторому

специальному виду. Особенность этого вида заклю¬чается в том, что для каждого

уравнения имеется неизвестное которое входит в это уравнение с коэффициентом, не

равным нулю, а в остальные уравнения - с коэффициентом 0. Если для каждого

уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное называется

базисным, а весь набор базисных неизвестных- базисомом неизвестых. Остальные

неизвестные (если они имеются) называются свободными.



При наличии хотя бы одного свободного неизвестного система имеет бесчисленное

множество решений. Если свободных неиз¬вестных нет (все неизвестные — базисные),

то решение единственно.



Алгоритм метода Гаусса.

1. Из системы, полученной ранее удаляем противоречивые уравнения. Если в

оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение, то система

несовмест¬на — работа с ней прекращается.

2. Следом, одно из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из

неизвестных за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие

два требования:

• на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим; • в разрешающем

уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля;

этот коэффициент называют разрешающим элементом.

3. Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разре¬шающее неизвестное.

Для этого к каждому из таких уравнений прибавляем разрешающее уравнение,

умноженное на подходя¬щее число (короче, чтоб в разрешающем столбце оказалась

единица, а всё остальное – нули).



Процесс заканчивается, если ни одно из уравнений уже нельзя выбрать за

разрешающее (т. е. все уравнения перебывали в этой роли). Тогда для каждого

уравнения имеется свое базисное неиз¬вестное, входящее в это уравнение с

коэффициентом, отличным от нуля, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0.

Таким образом, процесс прекращается после получения базиса неизвест¬ных. Из

полученной системы находим общее решение.