SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки 2. Обратное пространство и решетка Ранее рассматривалась структура различных типов кристаллов в обычном, или координатном пространстве, так как речь шла о положениях ато¬мов в решетке. Для изучения движения электронов проводимости удобно исполь¬зовать другой тип пространства, называемый в математике дуальным, или сопря¬женным, координатному пространству. Это дуальное пространство (также назы¬ваемое обратным или обращенным) возникает в квантовой механике. Основная зависимость между частотой f=ω/2π, длиной волны λ и скоростью v этой волны выглядит как λ f =v. Удобно ввести волновое число k=2π/λ, получая f= (k/2π)v. Для упругой волны, или для волны, связанной с электронами прово¬димости, импульс p=mv электрона с массой m записывается как p=(h/2π)k , где h - постоянная Планка, одна из универсальных констант физики, а k - волновой вектор, модуль которого равен волновому числу. Часто используется величина ћ=h/2π, также называемая постоянной Планка. Тогда p=ћk. Таким образом, в этом простом случае, импульс пропорционален волновому вектору k, а k обрат¬но пропорционален длине волны. Для описания движения электронов можно ввести обратное пространство, называемое k - прост¬ранством. Если одномерный кристалл имеет постоянную решетки а и длину, положим, L=10a, то атомы будут расположены на прямой в точках с координатами 0, a, 2a, …,10a=L. Соответствующий волновой вектор k будет принимать значения 2π/L, 4π/L,…, 20π/L = 2π/a. Видно, что наименьшее значение k равно 2π/L, а наи¬большее - 2π/a. Элементарная ячейка в этом одномерном координатном прост¬ранстве имеет длину a, а важная характеристика ячейки в обратном пространст¬ве, называемой зоной Бриллюэна, равна 2π/a. Положениями электронов в зоне Бриллюэна являются точки k=2πn/L в обратном пространстве, где n в нашем примере принимает значения n = 1, 2, ..., 10, и на границе зоны Бриллюэна (при n = 10) k=2π/a. Рис. 2.13. Схема элементарной ячейки (а) в двумерном координатном пространстве х,у и соответствующая зона Бриллюэна (б) в обратном пространстве кх, ку для прямо¬угольной решетки Бравэ. Для простой прямоугольной решет¬ки в двух измерениях с координатами х и у и постоянными решетки а и b обрат¬ное пространство также двумерно с вол¬новыми векторами kх и kу. По аналогии со случаем простой решетки зона Брил¬люэна в этом двумерном обратном про¬странстве имеет длину 2π/a и ширину 2π/b, как показано на рис. 2.13. Обобще¬ние на три измерения очевидно. Следует помнить, что kх пропорционален со¬ставляющей импульса электрона рх по координате х, аналогично и для kу и ру. |