SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Во всех рассмотренных случаях мы считали, что атомы находятся в определенных

местах решетки, но в действительности они непрерывно движутся около своих

положения равновесия. Эти флуктуации возникают из-за тепловых колебаний решетки

и становятся сильнее при увеличении температуры. Так как атомы связаны друг с

другом посредством тех или иных связей, смещение одного атома из положения

равновесия вызывает смещение соседей. Химические связи действуют как пружинки,

которые постоянно сжимаются и растягиваются при таких осцилляциях. В результате

множество атомов колеблется в унисон, и это коллективное движение

распространяется на весь кристалл. Каждый тип решетки обладает своими

характерными модами или частотами колебаний, называемыми нормальными модами.

Всеобщее коллективное колебательное движение решетки является комбинацией, или

суперпозицией многих нормальных мод. У двухатомной решетки, такой как GaAs, есть

низкочастотные моды, называемые акустическими, в которых тяжелые и легкие атомы

колеблются в унисон, или в фазе друг с другом, и высокочастотные моды,

называемые оптическими, в которых они колеблются в противофазе. Простой моделью

для рассмотрения этих колебательных мод является одномерная цепочка чередующихся

атомов с большой массой М и малой массой m, связанных друг с другом пружинами

(~) следующим образом:

~ m ~ М ~ m ~ М ~ m ~ М ~ m ~ М ~

Когда одна из пружин сжата или растянута на величину Δх, на соседние массы

действует сила величиной СΔх, где С – жесткость пружины. Так как пружины

растягиваются и сжимаются последовательно друг с другом, имеет место продольная

колебательная мода, в которой атомы движутся вдоль направления пружин. Каждая

нормальная мода характеризуется своей частотой ω, волновым числом k = 2π/λ, где

λ — длина волны, и энергией Е, связанной с ней посредством Е = hω. Существуют и

поперечные нормальные моды, в которых атомы колеблются перпендикулярно линии их

связей. На рисунке показана зависимость ω от k для низкочастотных акустических

и высокочастотных оптических продольных мод. Видно, что частота акустической

ветви монотонно увеличивается с увеличением волнового числа, а оптической —

монотонно падает. Эти две ветви имеют предельные частоты (2С/М)1/2 и (2С/m)1/2 с

энергетической щелью между ними на границе зоны Бриллюэна kmах = π/а, где а —

равновесное расстояние между атомами М и m. Зона Бриллюэна — это элементарная

ячейка в пространстве волновых чисел, или обратном пространстве, что будет

излагаться далее в этой главе. Оптическая колебательная ветвь находится в

инфракрасном диапазоне, обычно на частотах от 1012 до 3х1014 Гц. Характерные

частоты акустической ветви много ниже. В трехмерном случае ситуация более

сложна, и следует рассматривать продольную акустическую, продольную оптическую,

поперечную акустическую и поперечную оптическую ветви.





Рис. 2.10. Зависимость круговой частоты w продольной колебательной моды от

волнового числа k = 2π/λ для цепочки атомов двух типов с чередующимися массами m

< М на расстоянии а, связанных пружинами с жесткостью С.



Атомы в молекулах также подвержены тепловым колебаниям. Молекула из N атомов

обладает 3N-6 колебательными степенями свободы. Конкретные молекулярные группы,

такие как гидроксильная – ОН, амино- – NH2, нитро- – NO2, имеют свои

характерные нормальные моды, которые позволяют обнаруживать присутствие таких

групп в молекулах и твердых телах.

Обсуждаемые колебания атомов относятся к типу стоячих волн. Бывают и бегущие

волны, когда локализованная область колеблющихся атомов перемещается по

кристаллу. Примерами таких бегущих волн являются звук, распространяющийся в

воздухе или сейсмические колебания почвы, расходящиеся от эпицентра

землетрясения на тысячи километров и позволяющие сейсмографам зарегистрировать

землетрясение спустя многие минуты. Локализованные бегущие волны колебаний

атомов в кристалле называются фононами. Их энергия квантуется как Е = hω = hv,

где v =ω/2π – частота колебаний в такой волне. Фононы играют важную роль в

физике твердого тела.