SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Например,



является (2  3)-матрицей А=(аij), в которой на пересечении i-ой строки и j-го столбца стоит элемент аij (i = 1,2 и j = 1,2,3). Множество всех (m  п)-матриц с вещественными элементами обозначается Rmn. В общем случае, множество матриц размера тп, элементы которых берутся из множества S, обозначается Sтп. При транспонировании матрицы А её строки становятся столбцами и наоборот.

Например, для матрицы А, рассмотренной ранее

.

Вектором называется одномерный массив чисел. Например,







является вектором из трёх элементов. Стандартной формой вектора мы будем считать вектop-столбец, т.е. (п1)-матрицу; при его транспонировании получается вектор-строка:



xT = (2 3 5) .



Вектор, i-й элемент которого равен 1, а все остальные элементы равны 0, иногда называют единичным вектором и обозначают еi. Количество элементов единичного вектора обычно определяется из контекста.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны 0. Такая матрица обычно обозначается 0. Что понимать под этим обозначением - число 0 или нулевую матрицу - обычно ясно из контекста; если имеется в видy матрица, то размер её тоже определяется из контекста.

Часто встречаются квадратные матрицы - матрицы размером (пп). Некоторые их виды отметим особо.

1. У диагональной матрицы все внедиагональные элементы равны нулю (aij = 0 при ij), поэтому она может быть задана перечислением элементов, стоящих на диагонали.



.



2. Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональ которой заполнена единицами:







Иногда индекс п при букве I опускается; размер матрицы в этом случае

определяется из контекста. Столбцами единичной матрицы служат векторы e1,e2,...,en.

3. У трёхдиагональной матрицы ненулевые элементы могут появляться на главной диагонали (tii при i = 1, 2,..., п), прямо над ней (ti,i+1 при i = 1, 2,..., п-1) или прямо под ней (ti+1,i при i = 1, 2,..., п-1). Все остальные элементы равны нулю (tij = 0 при |i – j|>1):







4. У верхне-треугольной матрицы все элементы под главной диагональю равны нулю (иij = 0 при i > j):







5. У нижне-треугольной матрицы все элементы над главной диагональю равны нулю (иij = 0 при i< j):







6. Матрица перестановки имеет в точности одну единицу в каждой строке и каждом столбце; на всех прочих местах у нее стоят нули. Пример матрицы перестановки:



.



7. Симметрическая матрица - это матрица, удовлетворяющая условию

А = АТ. Например, матрица



является симметрической.

Если АТ = -А, матрицу А называют кососимметрической.

И в том, и в другом случае матрица должна быть квадратной.

Элементы симметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали равны между собой, поскольку [AT]ij = [A]ji и из условия АТ = А следует, что [A]ji = [A]ij .

Элементы кососимметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагонали, отличаются знаком, а диагональные элементы равны нулю, поскольку из равенства АТ = -А следует, что [A]ji =  [A]ij (в частности, при i = j выполняются равенства [A]ii =  [A]ii = 0).

Действия с матрицами

Две матрицы называются равными, если они имеют одну и ту же размерность и если у них совпадают соответствующие элементы.

Определим сложение матриц следующим образом. Пусть даны (тп)-матрицы А = (аij) и В = (bij). Назовём их суммой (тп)-матрицу, С = (сij) = А+В с элементами

сij = аij + bij ,

где i = 1,2,... , m и j = 1,2,... , m. Нулевая матрица является нейтральным элементом для операции сложения матриц:

А + 0 = А = 0 + А.

Пусть  - число, а А= (аij) - матрица. Можно умножить матрицу А на число , умножив каждый элемент матрицы А на число . Особо отметим матрицу –А = (-1)А, называемую противоположной к А матрицей. Элемент с индексами i,j в матрице -А равен - аij, поэтому

A + (-A) = 0 = (-A) + A.

Вычитание матрицы мы теперь можем определить как прибавление противоположной матрицы: А - В = А + (-В).

Операции сложения и умножения матрицы на число называют линейными.

Для любых матриц А, В и С из Mmn(R) верны следующие свойства линейных операций, которые вытекают из определения соответствующих линейных операций и свойств суммы и произведения действительных чисел:

1. Сложение матриц коммутативно.

2. Сложение матриц ассоциативно: (A+B)+C = A+(B+C).

3. Умножение матрицы на число ассоциативно: ()А = (А).

4. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно операции сложения действительных чисел: (+)А = А+А.

5. Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц: (А+В) = А+В.



Свойства операции транспонирования:



1. (АТ)Т = А, поскольку матрицы слева и справа имеют одинаковые размеры и [(АТ)Т]ij = [(АТ)]ji = [A]ij .

2. (А+В)Т = АТ + ВТ, поскольку [(А+В)Т]ij = [(A+B)]ji = [A] ji + [B]ji = [AT] ij + [BT]ij = [AT+BT]ij .

3. (A)T = AT, R, поскольку [(A)T]ij = [(A)]ji =  [A]ji =  [AT]ij = [AT]ij.