SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. В этом случае тело имеет три степени свободы ? начала систем XYZ и x 0 y 0 z 0 , введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера: ?=?(t), ?=?(t), ?=?(t).

Для твердого тела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено из одного положения в любое другое одним поворотом на некотjрый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Cледствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени общем случае меняется. Г М положений мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы XYZ (или x 0 y 0 z 0 ) ? это сложная коническая поверхность с вершиной в точке закрепления. В теоретической механике ее называют неподвижным аксоидом. Г М положений мгновенной оси вращения относительно подвижной системы xyz, жестко связанной с твердым телом, ? это тоже коническая поверхность ? подвижный аксоид. Линейная скорость произвольной точки твердого тела вокруг мгновенной оси: v=??r, где r ? радиус-вектор точки относительно начала системы XYZ (или x 0 y 0 z 0 ), совмещенного с точкой закрепления.

Эти уравнения наз. уравнениями Эйлера. В ряде случаев движение с одной закр. точкой можно представить как суперпозицию 2-х вращений вокруг пересекающихся осей, угловые скорости складываются векторно.

Регулярная прецессия свободного симметричного волчка. Рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка S (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 4.6). Момент силы тяжести относительно точки S: M=mglsin?. Изменение момента импульса L определяется выражением: dL=Mdt. При этом и L, и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью ?. Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие ?>>? и что L постоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа.

dL=L sin??dt, dL=??L dt ? M= dL=??L.

Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси. Обратим внимание, что M определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное ?выключение? M приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.

mglsin?=?Jz? sin? ? ?=mgl/Jz?