SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле: где dq – заряд, сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малый участок поверхности. Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S . Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению. Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток ФЕ через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к. Дляоснования цилиндра Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим: откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна: Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей Тогда внутри плоскостей Вне плоскостей напряженность поля Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор). Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): , т.е. .

Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными. Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора:где S – площадь обкладок конденсатора. Это формула для расчета пондермоторной силы.Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра. Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.