SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Линейные пр-ва

Множество V элементов любой природы называют линейным пространством если выполняются следующие условия:

1) На множестве определена операция сложения элементов. Т.е. каждой паре элементов x,yеV поставлен в соответствие определенный элемент zеV, такой что x+y=z.

2) Для элементов множества V определена операция умножения на числа, т.е. каждому xеV и каждому действительному числу R поставлен в соответствие определенный y из V.

3) Указанные операции удовлетворяют следующим требованиям (они называются аксиомами линейного пространства

Аксиомы лин-го пр-ва и следствия из них

1)x+y=y+x

2)(x+y)+z=x+(y+z)

3)Сущ. Вектор Θ такой, что для любого х?V x+Θ=x

4)Для любого x?V сущ. Вектор ?х такой, что x+(-х)=Θ

5)a(x+y)=ax+ay

6)(a+β)x=ax+βx

7)a(βx)=(aβ)x

8)1·x=x.

Линейная зав-ть и нез-ть

Элементы x1?xnV называются линейно-независимыми если существует их линейная комбинация 1x1+?+тxn= в которой не все элементы xi=0. Элементы x1?xn называются линейно-независимыми, если 1x1+2x2?=  1=2=?=n=0 выполнено тогда и только тогда, когда все i=0.

Теорема: чтобы элементы x1?xn были линейно независимы  необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

Базис

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой, т.е. ни один вектор этой системы не является линейной комбинацией остальных и равенство линейной комбинации векторов этой системы возможно только в том случае, когда все коэффициенты равны 0. Размерностью линейного пространства называется максимальное число линейно не зависимых векторов. Базисом называется линейно независимая система векторов, такая, при которой любой вектор, принадлежащий этому пространству, может быть выражен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

Теорема единственности:

Если задан базис е, е, е, то разложение любого вектора а по этому базису единственно: а=е+е+е Если дан базис е,е,е, то коэффициенты разложения вектора по этому базису называются координатами 0. а=( , , ). Замечание: у одного и того же вектора в разных базисах разные координаты. Условие коллинеарности: / = / = /. Замечание: если в одной из дробей в знаменателе, то равенство нужно понимать так, что в числителе тоже 0. Каноническое ур-е прямой: x x /m=y-y /p=z-z /q

Матрица перехода от одного базиса к другому.Связь между коорд. вектора в разных базисах лин. пр ? ва.

Пусть V ? лин. пр ? во;е1,е2,?,еn и e1?,e2?,?en? ? 2 его базиса.Пусть[e1?=a11e1+a21e1+?+an1e1;e2?=a12e1+a22e2+?an2en;?;en?=a1nen+a2nen+?+annen].

(e1?e2??en?)=(e1e2?en)·С,где С=

а11 а12 ? а1n

a21 a22 ? a2n

? ... ... ...

an1 an2 ? ann

М.С наз. матрицей перехода от базиса е к базису e?=>м.С невырождена,.т.к. в противном случае ?е столбцы были бы лин. зав.,а значит и e1?,e2?,?en? были бы лин. зав.Противоречие. Обратно,если м.С невырождена,то е? столбцы лин. незав.=> вектора e1?,e2?,?en?, пол. из базиса е с пом. С будут лин. незав. =>любая невырожд. м. может служить м. перехода.

Пусть х ? вектор пр ? ва V и х=ξ1е1+ ξ2e2+?ξnen;x=ξ1?e1?+ξ2?e2?+?+ξn?en?.Тогда(без д ? ва):

ξ1 ξ?1 ξ?1 ξ1

ξ2 ξ?2 ξ?2 ξ2

? =C ? или ? =C-1 ?

ξn ξ?n ξ?n ξn



Размерность

Пусть х1,х2,?,хn(*) ? произв. вектора пр ? ва V.Рассм. мн ? во всех лин. комб. этой сист. векторов:х=а1х1+а2х2+?+аnxn;у=β1х1+β2х2+?+βnxn => x+y=(a1+β1)x1+?+(an+βn)xn. ax тоже явл. лин. комб. => усл. 1) и 2) вып.=>мн ? во всех лин. комб. системы(*)обр. лин. подпр ? во пр ? ва V:L(х1,х2,?,xn) ? лин. оболочка сист. векторов.Размерность этого подпр ? ва равна числу лин. незав. векторов в сист.(*).