SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Ранг множества векторов

Число векторов в базисе системы наз-ся Р.

Ранг матрицы

Ранг матрицы есть число линейно-независимых столбцов матрицы A. Обобщим на случай прямоугольных матриц понятие минора. Выбираем в матрице A произвольные k-строк и k-столбцов. K <=S,m. Элементы стоящие на пересечении этих строк и столбцов составляют квадратную матрицу k-того порядка, определитель которой называют минором k-порядка матрицы A. Нас интересуют порядки тех миноров матрицы, которые отличны от 0, а именно наивысшие из этих порядков. Если все миноры k-порядка равны 0, то равны нулю и все миноры более высокого порядка.

Теорема о ранге: наивысший порядок отличных от 0 миноров матрицы равен рангу этой матрицы.

Эта теорема дает метод для практического вычисления ранга матрицы.

Правила вычисления ранга матрицы: при вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньшего порядка к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-порядка отличный от 0, то требуется вычисление лишь минора k+1 ? порядка и т.д. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы. Но в А существуют миноры второго порядка, отличные от нуля. Возьмем минор третьего порядка. И т.д.

Теорема Кронекера_капелли

Система линейных уравнений совместима тогда и только тогда, когда.

Док-во

1) Пусть система совместима и k1?kn являются ее решением. Подставим k1?kn вместо неизвестных в систему. Получим тождества, которые показывают, что последний столбец расширенной матрицы является суммой всех остальных взятых соответственно коэффициентов. Всякий другой столбец матрицы A входит и в матрицу A и поэтому линейно выражен через столбцы этой матрицы. Обратно: всякий столбец матрицы A является и столбцом в матрице A, т.е. линейно выражен через столбцы этой матрицы системы столбцов A и A подобны между собой, это означает, что обе системы s-мерных векторов имеют один и тот же ранг.

2) Пусть rang A=rang A  любая максимально линейно независимая матрицы A, остается max линейно независимая в A. Таким образом через эту систему и систему столбцов матрицы A линейно выражены посредством столбцов A   система коэффициентов k1?kn такая, что сумма столбцов A взятая с этими коэффициентами равна столбцу из свободных членов. Поэтому k1?kn составляет решение системы.