SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Многочлены над числовыми полями

Многочленом n-й степени над полем Р называется функция вида Pn (z)= anzn + an-1 +?+a1z +a0; a0,////, an e P, an=/0, n e N

Степень многочлена

Число n наз-ся степенью многочлена Pn(z). (пишем : deg Pn(z) = n)

Операции над многочленами

1.Пусть даны 2 многочлена f(z) и g(z) , deg f(z)=n>_ deg g(z)= m. Тогда сущ-ют единственные мгогочлены g(z) и r(z) такие, что f(z)= g(z)q(z)+r(z), degr(z)< deg g(z)- деление с остатком многочлена. Если r(z)=0 ?делится без остатка.

2.Полное разложение многолена. : Pn(z) = an(z ? z1)r1 (z ? z2) k2?(z ? zm) km, k1 +?.+ km = n

3. Пусть p = некоторый многочлен над k и Если | p , то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; .

ОНД

ОНД ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД( p, s), что

1. ОНД( p, s) | p; ОНД( p, s) | s.

q | p, q | s q | ОНД( p, s)

Теорема о существовании ОНД и следствие

Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p+v*q.

Выберем такие многочлены u и v чтобы сумма w= u*p+v*q имела возможно меньшую степень( но была ненулевой!). Можно при этом считать w унитарным многочленом. Проверим, что w | p. Выполняя деление с остатком, получаем: p= s*w+r. Подставляя это равенство в исходное, находим: r = p - s*w =p - s*(u*p+v*q) = (1-s*u)*p+(-s*v)q = U*p + V*q . Если при этом r 0, то deg(r )<deg(w), что противоречит выбору w. Значит, r =0. Аналогично проверяется, что w | q. Обозначим: W = ОНД(p , q). По определению w | W. С другой стороны, W | p, W | q W | w. Остается заметить, что оба многочлена w и W унитарные и значит W = w.

Следствие.

Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным.

пусть p - ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p).

Корень многочлена

Пусть p = некоторый многочлен над k и Если | p , то a называется корнем кратности не ниже n. , если p(a) = 0, но , то корень a - простой (то есть не кратный).

Теорема Безу. следствие из нее

остаток от деления многочлена Pn(x) степени n на двучлен x ? b, где b ? число, равен Pn(b)

Если С1 ?корень многочлена Pn(z), то Pn(z) делится без остатка на двучлен z ? С1

Кратность корней многочлена

Pn(z) = an(z ? z1)k1 (z ? z2) k2?(z ? zm) km, k1 +?.+ km = n число ki наз-ся кратн. корня zi

Основная Т. Алгебры

Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше 1. имеет хотя бы 1 корень, в общем случае комплексный.