SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки Множества Множеством наз-ся любая совокупность произвольных объектов. М. не содержащее ни одного элемента наз. пустым. М. содержащее все элементы рассматриваемых в данном контексте множеств, наз-ся универсальным. Обозн. A={x1,?,xn} Операции над множествами: 1. Объединением(суммой) множеств А и В наз-ся множество, содержащее как элементы А, так и элементы В. АUB={x|x è A или х е В} 2. Пересечением(произведением) М. А и В наз-ся множество, содержащее только элементы, принадлежащие и А и В одновременно А B={x|x è A и х е В} 3. Разностью М. А и В наз-ся множество содержащее элементы А и не содержащее элементы В. А B={x|x è A и х е/ В} 4. Дополнением М. А наз-ся М., содержащее все элементы универсального множества U, кроме элементов А. А= U A={x|x e/ A} 5. Декартовым произведением М. А иВ наз=-ся следующее множество упорядоченных пар: A x B = {<x, y>|x e A и y e B} Числовые множества: 1. N= {0,1, 2,3 ?,n,..}-множество натуральных чисел 2. Z= {..,-2,-1,0,1,2,3,?}-множество целых 3. Q= {x|x= p/q, p, q e Z, q=/o}-множество рациональных 4. I=множество иррациональных чисел, элементы которого представляются бесконечными неперидическими десятичными дробями. 5. R=QUI ? множество вещественных (действ.) чисел. Аксиомы поля: 1. x, y,z e F ((x+y)+z= x+(y+z))-ассоциативность сложения 2. 0 у А(x e F(x+0=0+x=x))- существование нуля 3. x e F((-x) e F(x+(-x)=(-x)+x=0))- существование противоположного элемента 4. x , y e F(x+y=y+x)-коммутативность сложения 5. x ,y,z e F((xy) z = x (yz)) ассоциативность умножения 6. 1 e F(x e F (x e F (x 1= 1 x=x))- существование единицы 7. x e F {0} ( 1/x e F (x 1/x =1)) ?существование обратного элемента 8. x, y e F (xy = yx)- коммутативность сложения 9. x, y, z e F((x+y)z =xz+ yz ? дистрибутивность Числовые множества являющиеся полями (т.е Q, R, C) называются числовыми полями Множество с двумя алгебраическими операциями R(+,*) называется кольцом, если 1. (R,+) - абелева группа (аддитивная группа кольца R). 2. Умножение в R дистрибутивно относительно сложения. Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим: Множество G на котором определена бинарная операция (*) называется группой (G,*), если выполняются условия: 1. Операция (*) ассоциативна. 2. Для операции существует нейтральный элемент. 3. Все элементы G обратимы. Примеры групп 1. R - группа действительных чисел с операцией сложения. ( аддитивная группа действительных чисел) 2. C - аддитивная группа комплексных чисел. 3. - группа ненулевых действительных чисел с операцией умножения ( мультипликативная группа действительных чисел) 4. - мультипликативная группа комплексных чисел. 5. - группа невырожденных матриц порядка n с действительными элементами. (Аналогично, ) 6. - группа перестановок множества 1,2, ..., n. Определение Группа называется подгруппой группы , если, во первых (как подмножество) и, во-вторых, (то есть закон умножения на подмножестве H такой же как и во всем множестве G.) Тот факт, что является подгруппой в обозначается с помощью символа включения: или просто . Примеры подгрупп. 1. Целые числа с операцией сложения (Z) образуют подгруппу в группе R, которая, в свою очередь является подгруппой группы C. 2. Четные перестановки образуют подгруппу в группе всех перестановок. 3. Матрицы с определителем 1 образуют подгруппу в группе всех невырожденных матриц. |