SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

9.1. Вероятность появления хотя бы одного события.

Пусть в результате испытания могут появится n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), прич?м вероятность появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того. Что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появится три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.



Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, ?, Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведений вероятностей противоположных событий А?1, А?2, ?, А?n:

P(A) = 1 ? q1q2...qn.



Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, ?, Аn. События А и А?1, А?2, ?, А?n (ни одного из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице: Р(А) + Р(А?1, А?2, ?, А?n)=1 Отсюда пользуясь теоремой умножения, получим Р(А) = 1 ? Р(А?1, А?2, ?, А?n) = 1 ? Р(А?1) Р(А?2) ?Р(А?n), P(A) = 1 ? q1q2...qn.



Частный случай. Если событий А1, А2, ?, Аn имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий рассчитывается по формуле: q = 1 ? p, Р(А) = 1 - q^n.