SHPORA.net - PDA version - Метод Гаусса — Жордана используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана[1].

Метод Гаусса — Жордана используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана[1].

[ Back ]

Содержание

[убрать]

• 1 Алгоритм

• 2 Пример

• 3 Ссылки

• 4 Примечания

[править] Алгоритм

1. Выбирают первую колонку слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.

2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранной колонки.

4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.

5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

6. После повторения этой процедуры n ? 1 раз получают верхнюю треугольную матрицу

7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

9. Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

[править] Пример

Для решения следующей системы уравнений:

запишем её в виде матрицы 3?4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

• К строке 2 добавим: ?4 ? Строку 1.

• К строке 3 добавим: ?9 ? Строку 1.

Получим:

• К строке 3 добавим: ?3 ? Строку 2.

• Строку 2 делим на ?2

• К строке 1 добавим: ?1 ? Строку 3.

• К строке 2 добавим: ?3/2 ? Строку 3.

• К строке 1 добавим: ?1 ? Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

.

[править]

SHPORA.net :: PDA