SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

14.1.Интегральная теорема Лапласа

Предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p(0<p<1). Как вычислить вероятность Pn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях не менее k1 и не более k2 раз? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа.

Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k1,k2) того, что событие А появится в n испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу

Pn(k1,k2)=1/sqrt(2*pi)*(x??<integ>x?->((e^((-z^2)/2))*dz)

где X?=(k1-n*p)/sqrt(n*p*q) и x??=(k2-n*p)/sqrt(n*p*q).

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа. Пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл null<integ>null->(e^((-z^2)/2)*dz) не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла fi(x)=(1/sqrt(2*pi))*(0<integ>x->((e^((-z^2)/2))*dz)) приведена в приложении 2(ст. 462). В таблице даны значения функции fi(x) для положительных значений x и для x =0; для x<0 пользуются то же таблицей [функция fi(x) нечетна, т.е. fi(-x)=-fi(x)]. В таблице приведены значения интеграла лишь до x=5, так как для x>5 можно принять fi(x)=0,5. Функцию fi(x) часто называют функцией Лапласа

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функция Лапласа, преобразуем соотношение



Pn(k1,k2)= (1/sqrt(2*pi)*(x??<integ>x?->((e^((-z^2)/2))*dz)

так:

Pn(k1,k2)= (1/sqrt(2*pi)* (x?<integ>0->((e^((-z^2)/2))*dz))+ (1/sqrt(2*pi)*(0<integ>x??->((e^((-z^2)/2))*dz))=

(1/sqrt(2*pi)* (0<integ>x??->((e^((-z^2)/2))*dz))- (1/sqrt(2*pi)* (0<integ>x?->((e^((-z^2)/2))*dz))=

=fi(x??)-fi(x?)

Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях от k1 до k2 раз,

,

Pn(k1,k2)= fi(x??)-fi(x?)

где X?=(k1-n*p)/sqrt(n*p*q) и X??=(k2-n*p)/sqrt(n*p*q). И в итоге получим. Pn(k1,k2)=fi(k2-n*p)/sqrt(n*p*q)-fi(k1-n*p)/sqrt(n*p*q)