SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

13.1. Локальная теорема Лапласа.

Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую (функция fi(x) (где fi-фи) называют асимптотической приближением функции f(x), если lim{x->infin}(f(x)/fi(x))=1 .) формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Замети, что для частного случая, а именно для p = 1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного p, отличного от 0 и 1. поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра ? Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Pn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции.

Y=((1/sqrt(n*p*q))*(1/sqrt(2pi))*( e^((-x^2)/2)=( 1/sqrt(n*p*q))*fi(x)

при X=((k-n*p)/sqrt(n*p*q))

Имеются таблицы, в которых помещены значений функции

fi(x)=(1/sqrt(2*pi))*( e^((-x^2)/2)),

соответствующим положительным значениям аргумента x (приложение 1). Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция fi(x) четна, т.е. -fi(x)=fi(x) .

Итак, вероятность того, что события А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

Pn(k)=(1/sqrt(n*p*q))*fi(x)

где X=(k-n*p)/(sqrt(n*p*q))