SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки Метод Гаусса нахождение обратной матрицы. (A|En) (E|A-1); Anxn Найд?тся . Требуется найти вектора . Получатся три системы линейных уравнений: Anxn ? n неоднородной СЛУ. Если rkA<nнекоторая из систем (1)?(n) имеет бесконечное число решений А не имеет обратных. Если rkA=n n ? главных столбцов (А|E)(E|B); (E|b) ? СЛУ определено и имеет единственное решение = b B=A-1 Следствие: А невырожденная rkA=n Определители A ? квадратная матрица nxn AdetA Определение: Пусть Минор Mij матрицы А называется определитель матрицы. Алгебраические дополнения Aij=(-1)i+jMij Определитель индукции. 1) A1x1=(a11)detA=a11 2) A2x2= detA=a11a22-a21a12 Пусть для A(n-1)x(n-1) ? определ?н detA Anxn Полагаем detA=a11A11+a1nA1n ? разложение по первой строки Свойства определителей 1) Для Anxn имеет место формула detA=a11A11+an1An1 ? разложение по первому столбцу. Доказательство по индукции 2) A=(aij). Транспортированная матрица AT=(aij); detAT=detA Доказательство по индукции. Строки и столбцы равноправны 3) Если в матрице А поменять местами две строки, то определитель поменяет знак. Доказательство: индукция по n (Anxn) сначала для трок i и i+1 4) detAB=detAdetB 5) При любых i и j имеют место формулы detA=ai1Ai1+?+ainAin ? разложение по Iой строке; detA= =a1jA1j+?+anjAnj ? разложение по jому столбцу 6) Если в А две строки равны то det=0. Доказательство: A= A? ? матрица А с переставленной Iой и jой троками. По свойству (3) detA?=(-1)detA A?=A; detA?=detA detA=0 7) Если в А имеется нулевая строка, то detA=0; Доказательство: A=i(00?0); detA=0Ai1+0Ain=0 разложение по Iой строке 8) A=(aij) и A?=i detA?=dteA; detA?=cai1Ai1+?+cainAin=c(ai1Ai1+?+ainAin)=cdetA 9) A= detA=det +det 10) Если в матрице А одна из строк является линейной комбинацией других, то detA=0. Доказательство: 11) - диагональная матрица. detA=a11?ann; Доказательство: индукция по n разложения по первому столбцу detA=a11A11=a11a22()=?=a11?ann Следствие из 11. Если А ? диагональная матрица, то detA равна произведению элементов главной диагонали. Следствие из 12. (фальшивое разложение). Доказательство: . Разложение по qой строке. Следствие из 13. Матрица А квадратная det0 Доказательство: А невырожденная rkA=nA приводится к диагональному виду А?, все элементы главной диагонали не равны 0. detA?0 detA0 обратная detA0/ Приводим А к главному ступенчатому виду А? , так как detA0, то A?=E по свойству 11rkA=n. Следствие Если А вырожденная то detA=0. Теорема: СЛУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда detA0. имеет единственное решение тогда и только тогда, когда detA0 Доказательство: имеет не тривиальное решение rkA<n по свойству 13 detA=0 Доказательство: (от противного) определяется тогда и только тогда, когда rkA=rk(A| )=n тогда и |