SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

1.Задача интерполирования. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Теорема единственности. Теорема о погрешности интерполяционного многочлена(без доказательства).
Интерполирование – это процесс построения интерполяционной функции, процесс нахождения промежуточных значений табличной функции. Задача интерполяции состоит в том, чтобы построить интерполяционный многочлен Ln(х) степени не выше n, значение которого в заданных узлах совпадает с заданными значениями функции. Многочлен в форме Лагранжа
Теорема о единственности. По заданным (n+1) значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен. Доказательство. Пусть заданы точки x0, x1,…,xn и значения функции f(x) в этих точках. Сначала покажем, что существует не более, чем один интерполяционный многочлен Pn(x), а затем построим его. Если бы таких многочленов было два - Pn(x) и Rn(x), то их разностью Кп(х) = Pn(x) - Rn(x) был бы многочлен степени не выше n, обращающийся в нуль в n + 1 точках x0, x1,…,xn. Но каждый многочлен, отличный от тождественного нуля, имеет ровно столько корней, считая их кратности, какова его степень. Поэтому Кп(х) = 0, т.е. Pn(x) = Rn(x). Единственность доказана. Теорема о погрешности интерполяционного многочлена.

,где .Это справедливо для любой точки и функции, в которой (n+1) раз дифференцируема на отрезке [а,b].