SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Ряд распределения может быть построен только для дискретной сл. вел. Для непрерывной сл. Вел. Ряд распределения построить нельзя, т.к.:

1) множество значений не является счетным

2) для непрерывной случ. Вел. Вероятность того, что сл. Вел. Х примет заранее заданное значение равно 0 (P{X=2}=0)

Поэтому для характеристики случайной величины удобно использовать вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше, чем х.

Функцией распределения случ. Вел. Х называется функция F(x), численно равная вероятности того, что сл. вел. Х примет значение, меньшее, чем х. F(x)=P{X<x}

Геометрически F(x) показывает вероятность того, что случ. Вел. Х находится левее т. х

Функция распределения является универсальным законом распределения сл. Вел., пригодным для описания как дискретных, так и непрерывных СВ.

Основные свойства.

1. Множество значений функции распределения принимают отрезок [0;1]

0≤ F(x)≤1

2. F(-∞)=0; F(+∞)=1

3. F(x) – неубывающая

х1<x2 =>F(x1)<F(x2) А В

Док-во: выберем х1 и х2



Введем события А~Х<x1

B~x1≤X≤x2

C~X<x2, C=A+ B

Найдем вероятность С

P{C}=P{X<xi}=F(x2)

P{A+B}= P{A}+P{B}=P {X<x1}+P{ x1≤X≤x2}=F(x1)+P{ x1≤X≤x2}

Используя теорему сложения вероятностей: F(x2)=F(x1)+ P{ x1≤X≤x2}

F(x2)-F(x1)= P{ x1≤X≤x2}≥0

Таким образом для любого x1<x2 F(x2)-F(x1)≥0 ( F(x1)≤F(x2) )

Следствие: Вероятность того, что СВ Х будет принадлежать интервалу (α;β), равному приращению функции на этом интервале.

P{α≤X≤β}=F(β)-F(α)

4.Для непрерывных СВ функция распределения F(x) – непрерывна



Для непрерыв. Для дискретных









Пусть Х-непрерывная СВ, т.е. функция F(x) – непрерывная. Найдем вер-ть того, что СВ Х принимает вероятность P{X=x}=Lim(▲x 0) {x X<x+▲x}= Lim(▲x 0)(F(x+▲x)-F(x))= Lim(▲x 0) ▲F=0, таким образом P{X= x} =0

График функции распределения дискретной C В.

Пусть дана дискретная СВ, тогда функция распределения F(x) будет распределяться:

X x1 x2 xn

P P1 P2 Pn

Это равенство следует из того, что F(x)=F{X<x}

Необходимо рассмотреть все т. xi, лежащие левее х. Используя несовместность событий Х=х1, Х=х2 и теорему сложения несовместных событий, приходим к формуле