SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Нормальное распределение.

Говорят, что случ. величина х имеет норм. распределение с параметрами ,если ее плотность имеет вид: (*). Или .

Для того, чтобы задать норм. распределение случ. величины достаточно знать параметры . Эти параметры полностью определяют вид кривой норм. распределения. Покажем, что мат. ожидание случ. величины будет равняться , а дисперсия .

е= пределы интегрирования остались те же = t+a) +a =a .

Где и (интеграл Пуассона)

D(x) = .

Кривая норм. распределения.

График дифференциальной ф-ии норм. распределения называют нормальной кривой.

Исследуем ф-ию(*).1)Она определена на всей оси х. 2)При всех значениях х, ф-ия принимает положит. значения, т.е. норм. кривая расположена над осью х. 3)Предел ф-ии при неограниченном возрастании х равен нулю, т.е. ось х служит асимптотой графика.4)Исследуем ф-ию на экстремум. Найдем первую производную:

. Легко увидеть, что производная равна нулю при х=а; больше нуля, при х<a; меньше нуля, при х>a. Функция имеет максимум, равный .

5)График ф-ии симметричен отн. прямой х=а, т.к. разность (х-a) содержится в аналитическом выражении ф-ии в квадрате. 6) Исследуем ф-ию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

.Легко увидеть, что при х=а+σ и х=а-σ вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак. Таким образом,

и -точки перегиба.



Влияние параметров норм. распределения на форму и расположение нормальной кривой.

1)изменение величины пар-ра а не изменяет формы норм.кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси х: вправо, если а –возрастает и влево, если а- убывает.

2)с возрастанием σ максимальная ордината норм.кривой убывает, а сама кривая сжимается к оси х; при убывании σ норм.кривая становится более островершинной и растягивается в положительном направлении оси у.



Когда а=0 , а σ=1,нормальную кривую называют нормированной.