SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки Теорема Чебышева. Теорема Бернулли Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико. Другими словами, если ε сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы будет иметь место равенство lim P (| m/n – p|<ε)=1. Доказательство: Обозначим через Х1 дискретную случ.величину – число появлений события в 1-ом испытании, через Х2 – во 2-ом, …, через Хn – в n-м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью 1- р = q. Применяя теорему Чебышева к рассматриваемым величинам, имеем: lim P ( |(х1+х2+…+хn ) / n – a| < ε)=1. n→∞ Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Хi (т.е. матем.ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности р наступления события, получим lim P ( |(х1+х2+…+хn ) / n – p| < ε)=1. n→∞ Остается показать, что дробь равна относительной частоте появлений события А в n испытаниях. Действительно, каждая из величин Х1, Х2, …, Хn при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное 1; следовательно, сумма Х1+Х2 +…+Ān равна числу m появлений события в n испытаниях, а значит, = . Учитывая это равенство, окончательно получим lim P (| – p|<ε)=1. n→∞ Замечание. Из теоремы Бернулли не вытекает равенство lim = p. n→∞ В теореме речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании. Таким образом, сходимость относительной частоты к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того, чтобы подчеркнуть это различие вводят понятие «сходимости по вероятности». Итак, теорема Бернулли утверждает, что при n→∞ относительная частота стремится по вероятности к р. Коротко теорему Бернулли записывают так: р. |