SHPORA.net :: PDA

Login:
регистрация

Main
FAQ

гуманитарные науки
естественные науки
математические науки
технические науки
Search:
Title: | Body:

эпюры внутренних силовых факторов


. ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ



1.1 О б щ и е с в е д е н и я



Рассмотрим брус, обладающий хотя бы одной плоско-стью симметрии нагруженный произвольной системой сил (рис. 1.1,а). Свяжем с ним прямоугольную декартову систему координат. Ось z совместим с осью бруса (геометрическое место центров тяжести поперечных сечений), а две другие, x и y , расположим в плоскости поперечного сечения, совместив одну из них, например, ось y, с осью симметрии последнего.

Рис. 1.1





Рассечем брус плоскостью П, перпендикулярной к оси z, на две части и одну из частей, например П, отбросим, за-менив ее действие на оставшуюся внутренними силами (рис. 1.1,б). Выбрав в качестве центра приведения центр тя-жести сечения abcd, заменим внутренние силы их интеграль-ными характеристиками – главным вектором и главным моментом . Раскладывая и по осям x, y и z, получим (1.1)

Здесь Nz – продольная сила; Qx(Qy) – поперечные силы; Mx(My) – изгибающие моменты; Mz  крутящий момент. Это и есть внутренние силовые факторы в поперечном сечении бруса.

Для расчета конструкций на прочность необходимо знать, как изменяются внутренние силовые факторы по длине бруса. С этой целью строятся их графики, называемые эпюрами.

Остановимся на приемах построения эпюр в частных случаях.



1.2. Построение эпюр для стержней,

нагруженных осевыми силами.





Рис. 1.2 При нагружении стержня осевыми силами в его попе-речных сечениях возникают только продольные силы Nz и он испытывает деформации растяжения или сжатия. Про-дольной силе, вызывающей растяжение, приписывается знак “плюс”; при сжатии продольная сила считается отрицательной.





Выделим из стержня, нагруженного распределенной осевой нагрузкой интенсивности qz (рис. 1.2), бесконечно ма-лый элемент dz и составим для него уравнение равновесия в проекции на ось z:

Zi = 0, Nz+dNzNzqzdz = 0,

откуда . (1.2)

Интегрируя это выражение, получим

. (1.3)

Если qz =  q = сonst, то Nz = No  qz, (1.4)

т.е. продольная сила изменяется по линейному закону. Знак “плюс” соответствует погонной нагрузке, вызывающей рас-тяжение стержня; при сжатии берется знак “минус”. При от-сутствии погонной нагрузки (q = 0) продольная сила посто-янна (Nz = No = const).









Рис. 1.3 П р и м е р 1.1.

Построить эпюру Nz для стержня, приведенного на рис. 1.3.

Р е ш е н и е. Стержень нагружен только сосредото-ченными осевыми силами, поэтому согласно зависимости (1.4) продольная сила в

пределах каждого участка постоянна. На границе участков Nz претерпевает разрывы. Примем направление обхода от свободного конца (сеч. Е) к защемлению (сеч. А). На участке DE продольная сила положительна, так как сила вызывает растяжение, т.е. NED = +F. В сечении D продольная сила ме-няется скачком от NDE = NED = F до NDС = NDЕ –3F = –2F



(находим из условия равновесия бесконеч-но малого элемента dz, выделенного на границе двух смежных участков CD и DE). Заметим, что скачок равен по величине

приложенной силе 3F и направлен в сторону отрицательных значений Nz, так как сила 3F вызывает сжатие. На участке CD имеем NСD = NDС = –2F. В сечении C продольная сила изменяется скачком от NСD = –2F до NСВ = NСD + 5F = 3F. Величина скачка равна приложенной силе 5F. В пределах участка CВ продольная сила опять постоянна NСВ = NВС =3F. Наконец, в сечении В на эпюре Nz опять скачок: продольная сила меняется от NВС = 3F до NВА = NВС –2F = F. Направление скачка вниз (в сторону отрицательных значений), так как сила 2F вызывает сжатие стержня. Эпюра Nz приведена на рис. 1.3,б.



П р и м е р 1.2. Стержень, нагруженный, как показано на рис. 1.4, а, удерживается в опоре силами трения, равно-

Рис. 1.4

мерно распределенными по ее толщине. Построить эпюру продольной силы.

Р е ш е н и е. Из условия равновесия стержня в проек-ции на ось z находим интен-сивность сил трения:

Zi = 0, 2F + 4F = q2a,

откуда q = 3F/a.

Эпюру Nz строим по формуле Nz = No  qz. Согласно этой зависимости на участках АВ и CD продольная сила постоянна, так как погонной нагрузки нет (q = 0). На участке ВС продольная сила изменяется по линейному закону (q = const). В сечениях А и D, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Nz имеют место скачки, равные по величине приложенным силам. Примем направление обхода слева направо. В сечении А сила 2F вызывает сжатие, поэтому NAB = 2F. На участке ВС продольная сила изменяется от NB = NA = 2F до NС = NВ + q2a = 4F. На участке CD продольная сила постоянна и равна NСD = 4F.







Рис. 1.5 П р и м е р 1.3. Стер-жень, изображенный на рис. 1.5,а, нагружен уравновешен-ной системой в виде сосредо-точенных и распределенных сил. Эпюра продольной силы показана на рис. 1.5,б. Опре-делить значения и направле-ния приложенной к стержню нагрузки.

Р е ш е н и е.

В сечениях 1, 2, 3, 4 на эпюре имеются скачки, что свя-зано с приложенными здесь сосредоточенными силами. Скачку вверх соответствует сила, вызывающая растяжение в рассматриваемом сечении; при скачке вниз сила вызывает сжатие. Величина скачка равна приложенной силе. Будем пе-ремещаться по стержню слева направо. В сечении 1 приложена растягивающая сила F1 = 20 кН, направленная влево. Далее на участке 12 на стержень действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности, равной согласно диф-ференциальной зависимости qz = dNz / dz тангенсу угла наклона прямой, т.е. q12 =(6020)/2 = 20 кН/м. Погонная нагрузка вызывает растяжение и направлена влево. Приложенная в сечении 2 сила F2 = 100 кН вызывает сжатие и направлена вправо. На участке 23 распределенной нагрузки нет, так как продольная сила постоянна. В сечении 3 приложена растяги-вающая сила F3 = 80 кН (направлена влево). На участке 34 действует распределенная нагрузка интенсивности q34 = (40  40)/1 = 80 кН/м, вызывающая сжатие и направленная вправо. Наконец, в сечении 4 приложена сила F4 = 40 кН, направленная влево.



П р и м е р 1.4. Эпюры Nz для стержней, представленных на рис. 1.6, предлагается построить самостоятельно. Для проверки тут же дается решение.

Рис. 1.6





1.3. Построение эпюр для стержней, нагруженных скручивающими парами.



Стержни, нагруженные парами сил, плоскости которых перпендикулярны к его оси, испытывают деформацию кру-чения (рис. 1.7).

Такие стержни принято называть в а л а м и, а пары сил – скручивающими моментами. В поперечных сечениях валов возникают

Рис. 1.7

только крутящие моменты МК, связанные с распределенной моментной нагрузкой m дифференциальной зависимостью

dMК / dz =  m, (1.5)

из которой вытекает следующая формула:

МК = МКо  mz, (1.6)

где МКо – крутящий момент в начале участка.

Крутящий момент считается положитель-ным, если для наблю-дателя, смотрящего на сечение со стороны внешней нормали , он представляется направ-



Рис. 1.8

ленным против часовой стрелки (рис. 1.8).

Согласно формуле (1.6) на участках с равномерно рас-пределенной нагрузкой m крутящий момент изменяется по линейному закону. При отсутствии погонной нагрузки