SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

послед {xn} назыв б м п если lim(n®?)xn=0 послед {xn} назыв б б п если она имеет своим пределом бесконечнось. Если {xn} ббп то 1/{xn} бмп Док-во т.к {xn} ббп => "e>0 $ne=n(e) такое что при n>ne вып неравенство /xn/>1/e => 1//xn/<e при n>ne = lim(n®?) 1/xn=0 {T}произвед беск малой на огранич есть бмп {док-во} пусть {xn}- бмп а {уn}- огранич => $M>0 такое что /уn/<M при " n пусть e>0 тогда тк {xn}- бмп =>$ne=n(e) при n>ne /Xn/<e/M => при n>ne /xnyn/=/xn/yn<(e/M)*M=e => lim(n®?)(xnyn)=0 чтд {Т} Если $n0: "n>n0 aN?bN?cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c. {Док} Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)<aN?bN?cN<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bN?(a-E,a+E) {Т переход от к пределу в неравенствах} Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN?yN, тогда x?y {Док-во} (от противного): Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)?(х-Е,х+Е)=?. "n>max{n0’, n0”} хN?(х-Е,х+Е) & уN?(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.