SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

{О предела ф-ции} Пусть f(x) определенна в некоторой окрестности т. «а» за исключунием быть может самой этой точки а. Число А – называется пределом ф-ции при x®a если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<E {O limx®af(x)=?} Если "E{бол}>0 $ d=d(E)>0 | "x 0<|x-a|<d ? |f(x)|<E ? limx®af(x)=? {O limx®af(x)=+?} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)>E {O limx®af(x)=-?} Если "E>0 $ d=d(E)>0 : "x 0<|x-a|<d вып f(x)<-E {O limx®?f(x)=A} Если "e>0 $ D=D(e)>0 : "x |x|>D вып |f(x)-A|<e {O limx®?f(x)=?} Если "E{бол}>0 $ D=D(E)>0 : "x |x|>D вып |f(x)|>E {Односторонние пределы} Правым (левым) пределом ф-ции f(x) ghb x®a+0(-0) называется число А / "e>0 $d=d(e)>0 при "x a(-d)<x<a(+d) ? |f(x)-A|<e A=limx®a+0(-0)f(x){Теорема о единственности предела} Если ф-ция f(x) имеет limx®a, то он единственный. {Д} Предположим обратное пусть limx®af(x)=A limx®af(x)=B выберем окрестности точек А и В так, чтобы они не пересекались U(A;e); U(B;e), тогда для данного e 1) $d=d(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d ? |f(x)-A|<e ? f(x)?U(A;e) 2) $d2=d2(e)>0 | при "x 0<|x-a|<d2 ? |f(x)-B|<e ? f(x)?U(B;e) Пусть d0=max(d1,d2), тогда при "х уд. 0<|x-a|<d0 вып. f(x)?U(A;E), f(x)?U(B;E) ? Эти две окрестности пересекаются, что противоречит выбору этих окрестностей т.о. А=В Ч.т.д.{Теорема об орграниченности на нек окрестности (.)а f(x)} Если при x®a f(x) имеет конеч lim=A , то она ограничена в некоторой окрестности точки а.{Док-во} Т.к. $limx®af(x)=A, то для e=1 $d>0 | при "x 0<|x-a|<d вып. |f(x)-A|<1 ? |f(x)|=|f(x)-A+A|?|f(x)-A|<|f(x)-A|+|A|<1+|A| при "х уд 0<|x-a|<d -это означает что f(x) ограничена (.)а {ББ и БМ ф-ции}{О} Ф-ция f(x) называется БМ х®а если limx®af(x)=0 {o} ф-ция ББ если limx®af(x)=+(-)? {T} Если f(x) бб при х®а, то 1/f(x) бм при х®а. Если f(x) бм при х®а и она отлична от 0 в некоторой окрестности (.) a, то 1/f(x) – бб при х®а {Док} Возьмём E>0 ? $d=d(E) >0 | при "x уд. 0<|x-a|<d ? |f(x)|>1/E ? 1/f(x)<E при "x уд 0<|x-a|<d ? 1/f(x) бм при x®a Пусть f(x) – бм при x®a и $ d1>0 | "x, уд. 0<|x-a|<d1 ?f(x)?0 возьмём E{бол}>0 тогда $ d2>0 | при 0<|x-a|<d2 |f(x)|<1/E{бол}, пусть d=min(d,d2)? при "x , 0<|x-a|<d вып-ся f(x)?0, |f(x)|<1/E ? 1/f(x)>E ? 1/f(x) –бб при х®а {T} Сумма двух б.м при x®a есть бм при x®a {Д} Пусть limx®af1(x)=0 limx®af2(x)=0 "e>0, тогда $d1=d1(e)>0 | при "х 0<|x-a|<d1 ? |f1(x)|<e/2 $ d2=d2(e)>0 | при "x, 0<|x-a|<d2? |f2(x)|<e/2 Пусть d=min(d1,d2) ? "x 0<|x-a|<d ? |f1(x)+f2(x)|<=|f1(x)|+|f2(x)|=e/2+e/2=e ? limx®a(f1(x)+f2(x))=0 {T}Произведение бм при x®a на ф-цию ограниченную в некоторой окрестности есть бм при x®a {Док} Пусть limx®ag(x)=0, а ф-ция g(x) ограничена в U(m,d1) т.е. $ m>0 | "х ?U(a,d1)? |g(x)|<m "e>0 ? $ d2>0 | при "x, 0<|x-a|<d2 ? |g(x)|<e/m ; Пусть d=min(d1,d2) ? "x, 0<|x-a|<d ? |f(x)g(x)|=|f(x)|?|g(x)|<em/m=e ? limx®af(x)g(x)=0