SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Пусть y=f(x) определна на [a,+?) и интегрмруем на " [a;b] ? несобственный интеграл по промежутку [a,+?) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел a?+?f(x)dx=limb®+? a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл a?+?f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с?[a,+?) ? a?bf(x)dx= a?cf(x)dx+ c?bf(x)dx {Т} По св-ву пределов a?+?f(x)dx cущ ? когда сущ limb®+? a?bf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’?b’’f(x)dx ? теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел a?bf(x)dx= limx®a+0 a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен то ? называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} a?сf(x)dx и с?bf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то a?bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®? при х®b-0, если b<+? {Св1} a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $a?bf(x)dx ? $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница a?bf(x)dx=F(h)-F(a) ? по св-ву пределов a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b a?h (mf1(x+lf2(x))dx= ma?h f1(x)dx+la?h f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0a?h f1(x)dx и $limh®b-0a?h f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства ? переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), x?[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b ? a?hf(x)dx<= a?hg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) ? aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр a?hu(x)?v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - a?hu’(x)?v(x)dx ? по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b ?a<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть x?[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] ? по теореме о замене переменной в опред ? получ утв.