SHPORA.net - PDA version - 15 {Св-ва сходящихся рядов} Если ?+?n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть ?k=m+1+?ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда ?(1,+?)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма ?k=m+1+?ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAn? $ limS®+?Am+S? $limS®+?A’S=lims®+?Am+S-Am ? ?k=m+1+?ak cx-cя; Пусть ?k=m+1+?ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s ? An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+?A’S?$limn®+?A’n=m ? $limn®+?A=limn®+?An-n+Am ? ?n=1+?an ряд сх. {Следствие} Если ряд ?(1,+?)an сх-ся и an=?(k=n+1,+?)ak ?limn®+?an=0 {Док} Пусть An=?(1,n)ak, A=limn®+?An ? A=An+an?an=A-A1 ? limn®+?an=A-limn®+?An=0 {Т} Если ряды ?(n=1,+?)an и ?(n=1,+?)bn сх-ся и l-число, то ?(n=1,+?)(an+bn) сх-ся и ?(n=1,+?)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=?(k=1,n)ak, Bn=?k=1nbk; A=limn®+?An, B=limn®+?Bn; $limn®+?(An+Bn)=A+B, $limn®+?lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда ?(n=1,+?)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.

15 {Св-ва сходящихся рядов} Если ?+?n=1an сх-ся то сх-ся и любой его остаток, если сходится какой либо остаток то сходися и сам ряд. {Д} Пусть ?k=m+1+?ak-остаток ряда. Обозначим Аn=a1+…+an – n-ая частная сумма ряда ?(1,+?)an A’s=am+1+…+am+s –s-ая частная сумма ?k=m+1+?ak, тогда A’s=Am+s-Am т.к. $limn®aAn? $ limS®+?Am+S? $limS®+?A’S=lims®+?Am+S-Am ? ?k=m+1+?ak cx-cя; Пусть ?k=m+1+?ak сх-ся ; Am+S=AS’+Am; n=m+s ? An=A’n-m+Am (n>m) Т.к. $lims®+?A’S?$limn®+?A’n=m ? $limn®+?A=limn®+?An-n+Am ? ?n=1+?an ряд сх. {Следствие} Если ряд ?(1,+?)an сх-ся и an=?(k=n+1,+?)ak ?limn®+?an=0 {Док} Пусть An=?(1,n)ak, A=limn®+?An ? A=An+an?an=A-A1 ? limn®+?an=A-limn®+?An=0 {Т} Если ряды ?(n=1,+?)an и ?(n=1,+?)bn сх-ся и l-число, то ?(n=1,+?)(an+bn) сх-ся и ?(n=1,+?)lan сх-ся {Д} Пусть Аn=?(k=1,n)ak, Bn=?k=1nbk; A=limn®+?An, B=limn®+?Bn; $limn®+?(An+Bn)=A+B, $limn®+?lAn=lA Т.к. An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)- n-ая частичная сумма ряда ?(n=1,+?)(an+bn) и lAn=la1+…+lan- n-ая частичная сумма ряда то данные ряды сходятся.

[ Back ]

#16{T признак сравнения} пусть даны 2 ряда ?(n=1..?)an и ?(n=1..?)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…) и $ no такое что при n>no аn<bn те из сходимости ряда An ® расход ряда Bn и наоборот. {Док-во} пусть ряд Вn сход ?(к=no+1..?)bk сход Аn = a(no+1)+…+a(no+m), Bn=b(no+1)+…+b(no+n) => $ M>0 такое что Bn<M "n An<=Bn<=M => ?(k=no+1..?)ak сх-ся =>?(k=1..?)ak сход {Предельный признак сравнения}Если сущ предел lim(n®?) an/bn =k то; 1).0<=k<+? из сход ?bn следует сходимость ?an; 2).0<k<=+? из расх ?bn следует расходимость ?an {док-во} если 0<=к<+? => e=1 $ no такое что при n>no an/bn<k+e =k+1 => an<(n+1)bn "n>no => из сх ?bn следует сходимость ?an => ?aк сходится 0<к<=+? e=к/2 (к<+?) и e=1 к=+? $ no такое что при n>no an/bn>k/2 (k<+?) an/bn>1; k=+? => при n>no аn>(k/2)bn (k<+?) => из расход ?bn =>?аn расх =>?ак а>bn (k=+?) ? Утв.

SHPORA.net :: PDA