SHPORA.net :: PDA

Login:
регистрация

Main
FAQ

гуманитарные науки
естественные науки
математические науки
технические науки
Search:
Title: | Body:

53 Пусть y=f(x) определна на [a,+?) и интегрмруем на " [a;b] ? несобственный интеграл по промежутку [a,+?) под ф-ей f(x) обозначен следующий предел a?+?f(x)dx=limb®+? a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен ,то интеграл a?+?f(x)dx называется сходящимся, если бесконечен или не существует, то расходящийся. {} Пусть с?[a,+?) ? a?bf(x)dx= a?cf(x)dx+ c?bf(x)dx {Т} По св-ву пределов a?+?f(x)dx cущ ? когда сущ limb®+? a?bf(x)dx {Док} Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела, что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого E > 0 существует b0 где а < b0 < b, такое, что выполняется неравенство |F(b’’)-F(b’) для всех b' и b", удовлетворяющих неравенствам b0 < b' < b" < b. Но F(b’’)-F(b’)=b’?b’’f(x)dx ? теорема доказана. {O} Несобственным интегралом по промежутку (a;b] от ф-ции f(x) называется следующий предел a?bf(x)dx= limx®a+0 a?bf(x)dx. Если указанный предел конечен то ? называется сход, если бесконечен или не сущ то расх. {О} a?сf(x)dx и с?bf(x)dx при a<c<b –сходятся одновременно то a?bf(x)dx- также сходится. {Св-ва} f(x) определена на [a,b) интегрируема на любом отр. a<h<b и f(x)®? при х®b-0, если b<+? {Св1} a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(a)=F(x)|ba $a?bf(x)dx ? $limh®b-0 F(h) {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле Ньютона-Лейбница a?bf(x)dx=F(h)-F(a) ? по св-ву пределов a?bf(x)dx= limh®b-0 F(h)-F(A){2} aobf1(x)dx и aobf2(x)dx -сходятся, то aob (mf1(x)+l aobf2(x))dx=m aobf1(x)dx+l aobf2(x)dx {До} Пусть a<h<b a?h (mf1(x+lf2(x))dx= ma?h f1(x)dx+la?h f2(x)dx т.к. по усл. теор $limh®b-0a?h f1(x)dx и $limh®b-0a?h f2(x)dx то сущ левой части полученного равенства ? переходя в этом рав-ве к пред. получ утв{3}Если f(x)<=g(x), x?[a,b] b aobf(x)dx, aobg(x)dx – сход , то aobf(x)dx<= aobg(x)dx {Д} a<h<b ? a?hf(x)dx<= a?hg(x)dx переходя в данном нер-ве к limh®b-0 получаем утв{4} Пусть u(x) и v(x) –непрерыны вместе со своими производными на [a,b) ? aobu(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba- aobu’(x)v(x)dx {Д} Пусть a<h<b тогда по ф-ле интегрирования по частям для опр a?hu(x)?v’(x)dx = y(x)v(x)|ah - a?hu’(x)?v(x)dx ? по св-ву пределов Если сущ пределы любых выражений в последнем равенстве то сущ предел 3-его ; При сущ ук пределов переходя в последнем рав-ве к пред пол. утв.; {5} f(x) непрерывно на [a,b), x=j(t) непрерывна вместе со своей производной на [a,b) и возрастает на этом промежутке, причём для a<=t<b ?a<=j(t)<b=limt®b-0j(t) тогда имеет место : aobf(x)dx= aobf(j(t))j’(t)dt {Д} Пусть x?[a,b) т.к. ф-ция непр на [a,b) то она отрораж. отр [a,x] на [a,j(x)] ? по теореме о замене переменной в опред ? получ утв.


#54 Будем считать что f(x) определён на [a,b) -?<a<b?+? {T1} Пусть f(x)?0 "x?[a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,h]. Для того чтобы интеграл a?bf(x)dx сходился необходимо и достаточно, чтобы все интегралы a?hf(x)dx, a<h<b были ограничены в совокупности т.е. $ M>0 | a?hf(x)dx<M {T2 признак сравнения} Пусть функция f(x) и g(x) не отрицательные на промежутке [a;b) и f(x)=O(g(x)), x®b-0, тогда если a?bg(x)dx- сходится, ? сходится и a?bf(x)dx Если a?bg(x)dx – расход ? a?bf(x)dx – расход. {Док-во} Т.к. f(x)=O(g(x)), x®b-0 то? существует левая окрестность (.) В для любого х. Т.к. a?bg(x)dx –сход ? a?bf(x)dx – сх ? по Т1?"h,(h0,b) h0?hg(x)dx?M(M=const) ? " x?(h0,b) h0ohf(x)dx?C h0ohg(x)dx?CM ? все интегралы h0ohf(x)dx ограничены в совокупности, по этому в теореме 1 h0obf(x)dx-сх?aobf(x)dx –сх; Аналогично если aobf(x)dx-расход ?aobg(x)dx- расх {Предельный признак сравнения} Пусть для не отрицательных ф-ций на [a,b) f(x),g(X)?0 существует возможно бесконечный предел $ limx®b-0f(x)/g(x)=k, тогда 1) при 0?k<+? из сходимости aobg(x)dx ? сх-тьaobf(x)dx; 2) при 0<k?+? из расходимости aobg(x)dx ? расх-тьaobf(x)dx; В часности при 0?k<+? aobg(x)dx и aobf(x)dx сход или расход одновр.{Док-во} 1. 0?k<+? По определению предела для E=1 $(h0,b) | " x?(h0,b) |f(x)/g(x)-k|<E=1 ? k-1<f(x)/g(x)<k+1 ? т.к. g(x)?0 ? f(x)<(k+1)?g(x) ?f(x)=o(g(x)), x®b-0 ? по Т2 ?если aobg(x)dx –сх, то aobf(x)dx-сх. 2) Пусть 0<k?+? тогда по опред предела для E={1 при k=+? {k/2 при k<+? ? $ (h0,b) | " x?(h0,b) f(x)/g(x)>1 при k=+? |f(x)/g(x)-k|<k/2 при k<+? ? при к=+? g(x)<f(x); при k<+? f(x)/g(x)>k/2 ? g(x)<2f(x)/k; g(x)=O(f(x)), x®b-0 ? по Т2 ? если aobg(x)dx –расход ?aobf(x)dx –расх.

#55aobf(x)dx-называется абс. сход если сходится aob |f(x)|dx Если aobf(x)dx-сх , а aob |f(x)| dx – расх то aobf(x)dx- называется условно сход. {Т}Если интеграл абсолютно сходится то он и просто сходится. В самом деле, из сходимости интеграла aob |f(x)| dx следует, что для любого E>0 на интервале (а, b) найдется точка b0 такая, что если b0 < b' < b" < b, то E> b’ob’’ |f(x)| dx?| b’ob’’ f(x)dx т. е. для интеграла aobf(x)dx выполняется условие Коши. Так как |aob’f(x)dx|? aob’ |f(x)| dx то после перехода к пределу при b'®b для абсолютно сходящегося интеграла aob f(x)dx получим |aob f(x)dx|? aob |f(x)| dx {Глав зн не соб ?}Пусть ф-ция y=f(x) определена на всей числовой прямой и интегрируема на любом конечном отрезке. Главным значением несобственного -?o+?f(x)dx называется v.p. ?o+?f(x)dx=limh®+? -ho+hf(x)dx; Главное знач совпадает со значением ?o+? по этому гл. знач имеет смысл рассматривать несобственный интеграл. Пусть ф-ции f(x) интегрируема на отр. [a,c-E],[c+E,b], E>0 Гл. зн. несоб. ? наз v.p. aobf(x)dx=limE®0 (aoC-Ef(x)dx +C+Eobf(x)dx)

#56 {Интегральный признак сходимости рядов} Пусть f(x) – непрерывна, возрастает на [1;+?) Тогда ?(n=1,+?)f(n) и 1?+?f(x)dx сходятся или расходятся одновременно {Док-во} Т.к. ф-ция непрерывна на полуинтервале [1,+?) то она интегрируема на люблм отрезке [1,h]?[1,+?) ? т.к. ф-ция не возрастает на [1,+?) то для к=1,2,3… f(k)>=f(x)>=f(k+1), при k<=x<=k+1 ? k?k+1f(x)dx>=k?k+1f(k+1)dx ? f(k)>= k?k+1f(x)dx>=f(k+1) ? ?(k=1,n)f(k){=Sn}>=?(k=1,n){= 1?n+1f(x)dx} k?k+1f(x)dx>=?(k=1,n)f(k+1){=Sn+1-f(1); Sn>= 1?n+1f(x)dx>=Sn+1-f(1) ; Если 1?+?f(x)dx сх ? $M>0 | "h?[1;+?) 1?hf(x)dx<=M ? Sn+1-f(1)<= 1?n+1f(x)dx<=M ? Sn+1<=M+f(1) "n; След-но частичные суммы ряда ограничены сверху ? ряд сходится; Если ряд сходится то сущ М, то для любого n=1,2,3 … все частичные суммы ограничены сверху 1?n+1f(x)dx<=Sn<=M "n Т.к. для любого h?[1,+?) $n ? N | h<=n 1?nf(x)dx<= 1?hf(x)dx+ h?n+1f(x)dx= 1?n+1f(x)dx<=M т.о. все интегралы от 1 до h f(x)dx ограничены в совокупности, значит 1?+?f(x)dx-сход. ЧТД