SHPORA.net - PDA version - 49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]Þтогда она интегрируема на отр[a,x] при a£x£b по св-ву опред ò Þ F(x)= aoxf(t)dt, xÎ[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть xÎ[a,b] x+DxÎ[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] Þ$ C>0. |f(x)|£С "xÎ[a,b]Þ|DF|=|xox+Dxf(t)dt|£С×| xox+Dxdt|=С|Dx| ÞlimDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 Î[a,b] Þ F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0Î[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+DxÎ[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx × x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|£1/|Dx|×| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dEÞ|f(x)×f(x0)|<E Пусть |Dx|<EEÞ"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|£|Dx|+dÞ |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|£1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|×E× xox0+Dxdt|=E Þ $limDx®0DF/Dx=f(x0)ÞF’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.

49 Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на отр[a,b]Þтогда она интегрируема на отр[a,x] при a£x£b по св-ву опред ò Þ F(x)= aoxf(t)dt, xÎ[a,b] – которая называется интегралом с переменным верхним пределом от ф-ции F(x) {T1} Если ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b], то F(х) непрерывна на [a,b]. {Док-во} пусть xÎ[a,b] x+DxÎ[a,b] Рассмотрим приращение: DF=F(x+Dx)-F(x)= aox+Dxf(t)dt-aoxf(t)dt; Т.к. ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] Þ$ C>0. |f(x)|£С "xÎ[a,b]Þ|DF|=|xox+Dxf(t)dt|£С×| xox+Dxdt|=С|Dx| ÞlimDx®0DF=0 Значит А- непрерывна в т. х Ч.Т.Д. {T2} Пусть y=f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в x0 Î[a,b] Þ F(x)= aoxf(t)dt дифференцируема в (.) х0Î[a,b] и имеет место равенство F’(x0)=f(x0) {Док-во} Пусть x0+DxÎ[a,b] DF=F(x0+Dx)-F(x0)= aox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= aox0f(t)dt+ x0ox+Dxf(t)dt- aox0f(t)dt= xox0+Dxf(t)dt |DF/Dt-f(x0)|=|1/Dx|, x0ox0+Dxf(t)dt-f(x0)/Dx=|1/Dx × x0ox0+Dx (F(t)-f(x0))dt|£1/|Dx|×| x0ox0+Dxf(t)-f(x0)dt Т.к. ф-ция f(x) непрерывна в х0 то для любого E>0 $ dt>0 |при|x-x0|<dEÞ|f(x)×f(x0)|<E Пусть |Dx|<EEÞ"t из промежутка от х0 до х0+Dх выполняется нер-во |t-x0|£|Dx|+dÞ |F(t)-f(x)|<E ; |DF/Dx-F(f0)|£1/Dx | x0ox0+Dx(f(t)-f(x0))dt<1/|Dx|×E× xox0+Dxdt|=E Þ $limDx®0DF/Dx=f(x0)ÞF’(x0)=f(x0) Ч.Т.Д.

[ Back ]

№50 Ф-ла Ньтона-Лейбница aobf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)= aoxf(t)dt тогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $ F(x)=Ф(х)+С; aoxf(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то aoаf(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þ aoxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

SHPORA.net :: PDA