SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки Уравнения плоскости в пространстве Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы были компланарны. ( ) = 0 Таким образом, Уравнение плоскости, проходящей через три точки: Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости. Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор . Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору . Векторы и вектор должны быть компланарны, т.е. ( ) = 0 Уравнение плоскости: Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости. Пусть заданы два вектора и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы должны быть компланарны. Уравнение плоскости: Уравнение плоскости по точке и вектору нормали. Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали (A, B, C) имеет вид: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение = 0 Таким образом, получаем уравнение плоскости Теорема доказана. Уравнение плоскости в отрезках. Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D , заменив , получим уравнение плоскости в отрезках: Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z. Уравнение плоскости в векторной форме. где - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z), - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. , и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра. В координатах это уравнение имеет вид: xcos + ycos + zcos - p = 0. |