SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

СЛАУ m x n – это система m линейных ур-ий с n неизвестными. Обший вид:

а11*х1+а12*х2+…+а1n*хn=в1

а21*х1+а22*х2+…+а2*хn=в2

…

аn1*х1+аn2*х2+…+аnn*хn=вn

Решением системы является такой набор чисел (х1, ..хn), что при подстановке этих чисел на место переменных , получается верное равенство. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Для любой системы возможны только три случая:

1) система не имеет ни одного решения;

2) система имеет единственное решение;

3) система имеет бесчисленное множество решений.

Множество всех решений системы называется ее общим решением. Решить систему означает найти ее общее решение.

Возможные действия над системой называемые элементарными преобразованиями:

1) перестановка уравнений;

2) вычеркивание из системы противоречивых ур-ий (0 х Х1+0 х Х2+…+0 х Хn=0 –оно не имеет решения

3) умножение обеих частей одного из уравнений системы на число  0

4) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то -же число.

Суть метода заключается в том, что с по¬мощью элементарных преобразований системы либо получают систему содержащую противоречивое уравнение (и тогда система оказывается несовместной), либо система приводится к некоторому специальному виду. Особенность этого вида заклю¬чается в том, что для каждого уравнения имеется неизвестное которое входит в это уравнение с коэффициентом, не равным нулю, а в остальные уравнения - с коэффициентом 0. Если для каждого уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное называется базисным, а весь набор базисных неизвестных- базисомом неизвестых. Остальные неизвестные (если они имеются) называются свободными.

При наличии хотя бы одного свободного неизвестного система имеет бесчисленное множество решений. Если свободных неиз¬вестных нет (все неизвестные — базисные), то решение единственно.

Алгоритм метода Гаусса.

1. Из системы, полученной ранее удаляем противоречивые уравнения. Если в оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение, то система несовмест¬на — работа с ней прекращается.

2. Следом, одно из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие два требования:

• на предыдущих шагах это уравнение не было разрешающим; • в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от нуля; этот коэффициент называют разрешающим элементом.

3. Из всех уравнений, кроме разрешающего, исключаем разре¬шающее неизвестное. Для этого к каждому из таких уравнений прибавляем разрешающее уравнение, умноженное на подходя¬щее число (короче, чтоб в разрешающем столбце оказалась единица, а всё остальное – нули).

Процесс заканчивается, если ни одно из уравнений уже нельзя выбрать за разрешающее (т. е. все уравнения перебывали в этой роли). Тогда для каждого уравнения имеется свое базисное неиз¬вестное, входящее в это уравнение с коэффициентом, отличным от нуля, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0. Таким образом, процесс прекращается после получения базиса неизвест¬ных. Из полученной системы находим общее решение.