SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Рассмотрим определитель n-го порядка.

|a11 a12 ... a1n |

|a21 a22 ... a2n |

A= |......................|

|am1 am2 ... amn|

Выделим в нем какой-то определенный элемент aij. Вычеркнем из определителя строку и столбец, в которых расположен элемент aij, т.е. i-ю строку и i-й столбец. Останется некий определитель (n-1)-го порядка. Этот определитель называется минором элемента aij в определителе А и обозначается Mij

ОПР: Алгебраическим дополнением элемента aij в определителе А называется число Aij= (-1)i+ j Mij

ОПР: Определителем матрицы А называется сумма произведений элементов строки, умноженная на их алгебраические дополнения.

Основная теорема об определителях: Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения

А= ai1 Ai1+ ai2 Ai2+ ...+ ain Ain.

Вышеуказанное равенство называется разложением определителя по i-ой строке.

Свойства определителей.ДОКАЗАТЬ?

1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы некоторой строки определителя А представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Б и Д. В определителе Б указанная строка состоит из первых слагаемых, в Д - из вторых слагаемых. Осталльные строки определителей Б и Д - те же, что и в А.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.

7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равны 0.

8. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы Ат, т.е. определитель не меняется при транспонировании.