SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Если определитель матрицы А равен 0, то существует ненулевое решение СЛАУ (достаточное условие)

Докажем это на СЛАУ второго порядка. Возьмем определитель матрицы СЛАУ второго порядка, раскроем его и приравняем к 0. После этого, перенося слагаемое с отрицательным знаком в правую часть и записав результат в виде пропорции, увидим, что коэффициенты в СЛАУ пропорциональны, следовательны, векторы, имеющие координатами эти коэффициенты (то есть а=(а11, а12) и а=(а21, а22)), линейно зависимы. Следовательно, существует пара x1 и x2, неравные 0 одновременно, то есть ненулевое решение х1а1+х2а2=0. Ясно, что а - векторы, координаты которых смотри выше. Теорема доказана.

Есть еще обратная теорема к этой (то есть необходимое условие). Почему обратная - не понимаю. Вот формулировка: если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то ее определитель равен нулю.

Доказательство: Если бы СЛАУ имела единственное решение, то это решение было бы нулевым (по правилу Крамера). Определитель тогда не равен 0. Но он нулю должен быть равен, значит, решение ненулевое.