SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Есть две фиксированные точки А (а1, а2) и В (в1, в2). М — это произвольная точка. Также вектор АВ= вектор U0. Вектор АМ =t*векторU0. (1).

Запишем координаты векторов:

векторU0 (в1-а1; в2-а2;…; вn-аn)

Вектор АМ (х1-а1; х2-а2;…;хn-аn),

Сначала найдем уравнение прямой через две точки. Учитывая второе равенство из блока (1), можно приравнять каждую координату АМ к соответствующей координате u0 , помноженной на t:

Х1-а1=t(b1-a1);

Х2-а2=t(b2-a2);

…

xn-an=t(bn-an) (2).

Bыражаются t из каждого равенства, затем правые части полученных приравниваются между собой:

X1-a1/b1-a1=x2-a2/b2-a2=…=xn-an/bn-an

— искомое уравнение прямой через две точки. Тут ai и bi — это координаты этих самых двух точек, ну, а x-ы — это переменные уравнения, то есть координаты «плавающей» по прямой точки. Ясно, что в двух- и трехмерном пространстве написать уравнение прямой ничуть не сложнее, только количество выражений в нем сократится до двух или трех соответственно.

Уравнение луча и отрезка. Итак, после того, как мы выразим из каждого уравнения системы (2) соответствующий xi¬ , xi¬ — это координата произвольной точки М. Вот ход наших дальнейших рассуждений:

Xi=ai+t(bi-ai)

Xi=ai+tbi-tai (3)

Xi=(1-t)ai+tb1

Сумма коэффициентов при ai и bi равна 1, а в зависимости от параметра t изменяется положение точки М. Здесь возможно 7 случаев:

1)Если t = 0, то xi совпадает с ai, следовательно точка М попадает в точку А.

2)Если t = 1, то xi совпадает с bi, следовательно точка М попадает в точку B.

3)Если t = ½, то точка М делит АВ пополам

4)Если t(0;1] то точка М пробегает все точки АВ, то есть, задав это условие, мы получаем уравнение отрезка, включая концы.

5)То же, что и в предыдущем пункте, только скобки круглые. Разница в том, что и отрезок получается открытым.

6)Пусть t(1;], тогда получим уравнение луча, сонаправленного с вектором .

7)Пусть t(-;0], тогда получим тоже луч, но противоположно направленный вектору u0.

Вывод: чтобы вместо уравнения прямой получить уравнение отрезка или луча, надо вместе с уравнение прямой задать соответствующий промежуток (один из 7) колебания t, то есть каждого выражения этого уравнения.