SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве средств производства в других отраслях, в т.ч. в данной. Эту часть продукции будем называть производственным потреблением. При этом каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель, и как потребитель.



Обозначим через xi валовый выпуск i-ой отрасли за планируемый период. yi – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление. (xi – yi) – часть продукции i отрасли, предназначенная для внутреннего производственного потребления. Будем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном исчислении. xik – часть продукции i отрасли, которая потребляется k отраслью для обеспечения выпуска продукции в размере xk. Величины, расположенные в строках таблицы, связаны следующими балансовыми равенствами:

(1)

(2)

Одна из задач балансовых исследований – на базе данных об исполнении баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихами x'ik, y'i и т.д. данные, относящиеся к планируемому периоду, а теми же буквами, но без штрихов – аналогичные данные, относящиеся к планируемому периоду. При этом равенство (1) должно выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде. Ассортиментный вектор: . Вектор плана: . Зависимость между этими векторами определяется балансовыми равенствами (1). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектору необходимый для его обеспечения вектор-план , т.к. помимо искомых неизвестных хk они содержат n2 неизвестных x¬¬ik. Преобразуем равенство (1), рассчитав величины (3). Величины aik называют коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукции i отрасли, используемые k отраслью на изготовление единицы ее продукции и зависят главным образом от технологии производства в k отрасли. С некоторым приближением можно считать, что aik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающем как истекший, так и планируемый периоды, т.е. (4) Исходя из этого предположения можно посчитать (5), т.е. затраты i отрасли в k отрасль пропорциональны ее валовому выпуску. Равенство (5) называют условием линейности прямых затрат. Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формулам (4), используя данные за предшествующий период, получим технологическую (структурную) или матрицу затрат:



Все ее элементы неотрицательны. Подставляя условие (5) во все уравнения системы (1), получим линейную балансовую модель:

(6)

Эта модель характеризует баланс затрат выпуска продукции, представленной в таблице. Запишем систему (6) в матричном виде:

(6')

Система (6) содержит 2n переменных xi и yi, поэтому, задав значение n переменных, можно найти остальные n. Система (6) разрешима, если матрица

(Е – А) имеет обратную матрицу, т.е. . Будем исходить из заданного ассортиментного вектора и определять необходимый для его производства вектор :

(7)

Теорема: если существует хоть один неотрицательный вектор , удовлетворяющий неравенству , т.е. если уравнение (6') имеет неотрицательное решение хотя бы для одного , то оно имеет для любого единственное неотрицательное решение. При этом оказывается, что обратная матрица (Е – А)-1 будет обязательно неотрицательной.

Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется , где и определяются по исполненному балансу за прошедший период. При этом неотрицательный. Таким образом равенство (6') имеет одно неотрицательное решение . На основании теоремы заключаем, что уравнение (6') всегда имеет допустимый план, т.е. система (1) имеет единственное решение.