SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ ãóìàíèòàðíûå íàóêè åñòåñòâåííûå íàóêè ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè òåõíè÷åñêèå íàóêè Havanakanutyun ¸³ë³ËáëáõÃÛáõÝ 10 ¢21. ¸ÆêäºðêƲ Դիցուք ξ = ξ(ω) պատահական մեծությունը որոշված է (Ω, F , P) կամայական հավանակային տարածության վրա և ունի վերջավոր մաթեմա- տիկական սպասում: Սահմանում. ì»ñç³íáñ ٳûٳïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙ áõÝ»óáÕ ξ = ξ(ω) (¹ÇëÏñ»ï ϳ٠μ³ó³ñÓ³Ï ³ÝÁݹѳï) å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ ³Ý ¹Çëå»ñëdz' Dξ , ÏáãíáõÙ ¿ (ξ−Mξ)2 å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý Ù³Ã»Ù³ïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙÁ (í»ñç³íáñ ϳ٠³Ýí»ñç), ³ÛëÇÝùÝ' Dξ=M(ξ−Mξ)2 : Համաձայն մաթեմատիկական սպասման հատկությունների կունենաք' Dξ=M(ξ2−2ξMξ−(Mξ)2)=Mξ2−(Mξ)2 : (21.1) Դիսպերսիայի սահմանումից և մաթեմատիկական սպասման հատկութ- յուն 5 -ից ստացվում են դիսպերսիայի հետևյալ հատկությունները' (ցանկացած c հաստատունի համար). D(cξ)=c2Dξ, D(ξ+c)=Dξ: (21.2) Մաթեմատիկական սպասման հետևյալ կարևոր հատկությունը թույլ է տալիս ստանալ նոր ներկայացում դիսպերսիայի համար: ա) Ենթադրենք 1 2 x ,x ,… թվերը ξ պատահական մեծության բոլոր հնարավոր արժեքներն են, իսկ g(x)-ը' թվային ֆունկցիա: Այդ դեպքում 1 ( ) ( ) ( ) n n n Mgξ g x P ξ x ∞ = =Σ = , (21.3) եթե աջ մասի շարքը բացարձակ զուգամետ է: բ) Եթե f(x)-ը ξ պատահական մեծության բաշխման խտությունն է, իսկ g(x)-ը անընդհատ ֆունկցիա է, ապա Mg(ξ) g(x)f (x)dx ∞ −∞ = ∫ , (21.4) եթե աջ մասի ինտեգրալը բացարձակ զուգամետ է: Ապացույց: ա) Ենթադրենք 1 2 z ,z ,… թվերը g(ξ) պատահական մեծության արժեքներն են: Համաձայն մաթեմատիկական սպասման սահ- մանման' 56 1 ( ) ( ( ) ) k k k Mgξ z P gξ z ∞ = =Σ = (21.5) 1 2 x ,x ,… բազմությունը տրոհենք միմյանց հետ չհատվող 1 2 E,E ,… խմբերի, որտեղ { : ( ) }, 1 k n n k E = x gx =z k≥ : Այդ դեպքում ( ( ) ) ( ) n k k n x E P gξ z Pξ x ∈ = = Σ = : (21.3)-ի աջ մասի շարքում (բացարձակ զուգամետ) կատարելով անհրա- ժեշտ տեղափոխություններ' կստանանք' 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) n k n n k n k k n k x E k g x Pξ x z Pξ x z P g ξ z ∞ ∞ ∞ = = ∈ = Σ = =Σ Σ = =Σ = , որտեղից էլ կհետևի (21.3) հավասարությունը: բ) Ապացուցենք (21.4)-ը g(x)= xn -ի համար, օգտվելով §19 խնդիր 4 -ի արդյունքներից: Եթե n -ը կենտ է, ապա ( ) 1 1 1 ( ) ( ) (n ) n ( ) ( ) ( ) : g n Mg yf y dy y f y dy x f x dx g x f x dx ny ξ ξ ∞ ∞ ∞ ∞ − −∞ −∞ −∞ −∞ =∫ =∫ = ∫ = ∫ Եթե n -ը զույգ է, ապա ( ) 1 1 0 1 ( ) (n ) ( n ) n Mg y f y f y dy ny ξ ∞ − =∫ + − = ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 ny f ny dy n y f n y dy xnf(x)dx xnf(x)dx n n ∞ ∞ ∞ −∞ = ∫ + ∫ − = ∫ − ∫ = 0 0 xnf(x)dx xnf(x)dx g(x)f (x)dx ∞ ∞ −∞ −∞ =∫ +∫ = ∫ : Օգտվելով (21.3) և (21.4) բանաձևերից, երբ g(x)=(x −Mξ)2 , կստանանք նոր ներկայացում Dξ -ի համար: ա) ξ դիսկրետ պատահական մեծության համար' 2 1 ( ) ( ) n n n Dξ x Mξ P ξ x ∞ = =Σ − = (21.6) 2 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n Dξ x P ξ x Mξ ∞ = ⎛ ⎞⎟ ⎜ = = − ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ Σ : բ) ξ բացարձակ անընդհատ պատահական մեծության համար' Dξ (x Mξ)2f(x)dx ∞ −∞ =∫ − (21.7) 57 Dξ x2f(x)dx (Mξ)2 ∞ −∞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ ∫ : Սահմանում: ξ å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ϳñ·Ç ëϽμÝ³Ï³Ý ÙáÙ»Ýï ÏáãíáõÙ ¿ å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ³ëïÇ׳ÝÇ Ù³Ã»Ù³- ïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙÁ: n, 0,1,2, nv =Mξ n= …: Սահմանում: ξ å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý n -ñ¹ ϳñ·Ç Ï»ÝïñáÝ ³Ï³Ý ÙáÙ»Ýï ÏáãíáõÙ ¿ (ξ−Mξ)n å³ï³Ñ³Ï³Ý Ù»ÍáõÃÛ³Ý Ù³Ã»Ù³- ïÇÏ³Ï³Ý ëå³ëáõÙÁ' ( )n, 0,1,2, n μ = ξ−Mξ n= … : M|ξn|-ը կոչվում է n -րդ կարգի ëϽμÝ³Ï³Ý μ³ó³ñÓ³Ï ÙáÙ»Ýï, իսկ M|ξ−Mξ|n -ը' n -րդ կարգի Ï»ÝïñáÝ³Ï³Ý μ³ó³ñÓ³Ï ÙáÙ»Ýï: Պատահական մեծության մաթեմատիկական սպասումն առաջին կարգի սկզբնական մոմենտն է, իսկ դիսպերսիան' երկրորդ կարգի կենտրոնական մոմենտը: Հաշվենք որոշ հայտնի բաշխումների դիսպերսիաները: 1. Դիցուք ξ պատահական մեծությունը բաշխված է բինոմական օրեն- քով' ( ; 0, 1, 2, , ) k k(1 )n k k n Pξ=k k= …n=P=C ⋅p −p − , 0≤ p ≤1, Mξ =np: Այդ դեպքում' ( )2 2 2 2 0 (1 ) ( ) n k k k n k Dξ Mξ Mξ kCp p np = = − =Σ − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 1 2 1 1 2 2 ! ! (1 ) (1 ) ! ! 1! ! ! ( 1 1) (1 ) 1 ! ! ! ! ( 1) (1 ) (1 ) 1 ! ! 1 ! ! ! (1 ) 2 ! ! n n k n k k n k k k n k n k k n n k n k k n k k k n k n k k n n k p p np k p p np k n k k n k n k p p np k n k n n k p p p p np k n k k n k n p p np np k n k n n − − = = − = − − = = − = = − − = − − = − − − = − + − − = − − = − − + − − = − − − − = − + − = − − = − Σ Σ Σ Σ Σ Σ ( ) ( ) ( )(( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 2 22 2 2 2 ! 1 (1 ) 2 ! 2 2 ! 2 ! 1 (1 ) ! 2 ! 1 1 1 : n k n k k n l n l l n n p p p np np k n k n n n p p p np np l n l nn p p p np np np np np np np p − − − − = − − − = − − − + − = − − − − − = − − + − = − − = − ⋅ + − + − = − + − = − Σ Σ 58 2. Եթե ξ -ն ունի Պուասոնյան բաշխում' , 1,2, , 0, ! k k e P k k λ λ λ − = = … > Mξ = λ, ապա ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 0 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 ! 1! 1 1 1 ! 1 1 ! 1 ! : 2 ! k k k k k k k k k k k k D k e e k k k e k k e k e k k e k λ λ λ λ λ λ λ λ ξ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ∞ ∞ − − − = = ∞ − − = ∞ − ∞ − − − = = ∞ − − = = − = ⋅ ⋅ − = − = ⋅ ⋅ − + − = − = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − = − − = ⋅ ⋅ + − = − Σ Σ Σ Σ Σ Σ 3. [a,b] հատվածում հավասարաչափ բաշխման համար' 2 1 2 1 2 2 ( ), 3 b a M xdx a ab b b a ξ = = + + − ∫ 2 2 2 212 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 12 a b b a Dξ Mξ Mξ a ab b = − = + + −⎛⎜⎜⎜⎝ + ⎞⎠⎟⎟⎟ = − : 2. Նորմալ օրենքի համար' 2 2 ( ) 2 22 1 ( ) ( ) . 2 x a Mξ a Dξ x a e σ dx σ π ∞ − − −∞ − = = ∫ − Կատերելով x a z σ − = ' կստանանք x=zσ+a, dx = σ dz : Հետևաբար. 2 2 2 2 2 22 2 0 2 ( ) 2 2 z z M a ze dz zde σ σ ξ π π ∞ ∞ − − −∞ − = ∫ =− ∫ = 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 . z z ze e dz σ σ π σ π π ∞ − − ∞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − − = = ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ ∫ : 3. Բաշխման ցուցչային օրենքի համար' 2 2 2 0 0 0 2 0 2 M x ae ax dx x e ax xe ax dx xde ax a ξ ∞ ∞ ∞ − − − − ∞ ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = =− − = = ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 2 0 2 2 0 xe ax e ax dx a a ∞ − − ∞ ⎛ ⎞ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = − = ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ ⎠ ∫ 2 2 2 2 2 2 1 1 D M (M) a a a ξ= ξ − ξ = − = : |