SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки Системы счисления: формула числа, перевод чисел Позиционные системы счисления В привычной для нас десятичной системе счисления используют 10 цифр: 0,1,2,…,9 и каждое число представлено как : m −1 N = ∑ ai10i i =− s где i – номер разряда, a – одна из цифр от 0 до 9, s – количество разрядов в дробной части числа, m - количество разрядов в целой части числа. Например, 405.35=4*102+0*101+5*100+3*10-1+5*10-2 Но десятичная система счисления далеко не единственно возможная. В общем случае число N в некоторой позиционной системе счисления с основанием P записывается как m −1 N = ∑ ai P i , i =− s где a –цифра от 0 до P-1, P – основание системы счисления. Позиционными системами счисление называются такие, у которых вес каждой цифры a зависит от позиции в изображении числа. Так римская система счисления непозиционная. Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах: N max = P m − 1. Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части: N min = P − s . Любое число в двоичной системе представляет несколькими двоичными разрядами, каждый разряд несет информацию равную 1 биту. Поэтому каждый разряд и называют просто битом. Пример двоичного числа с дробной частью: 1010.0012=1*23+0*22+1*21+0*20+0*2-1+0*2-2+1*2-3=10.12510. Недостаток двоичной системы – слишком громоздкая запись. Например, 17310=10101101. Итак, выше приведены примеры перевода чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную. Алгоритм обратного перевода заключается в следующем. Число в десятичной системе счисления последовательно делится на основание системы счисления, в которую надо переводить. В качестве цифр нового представления берутся остатки от деления в обратном порядке, начиная с младшего остатка. Для перевода дробных частей десятичных чисел используют следующий алгоритм. Число в десятичной системе счисления необходимо последовательно умножать на основание системы счисления, в которую надо переводить. Причем умножать надо только очередную дробную часть, игнорируя возникающие целые части. В качестве цифр берутся целые части результатов умножения. Так происходит до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или не достигается заданная точность. На рис.4 приведен пример перевода 0.62510 в двоичную систему счисления. 0.625 * 2 1.250 * 2 0.500 * 2 1.000 Рис.4 Таким образом, 0.62510=0.1012. Для перевода из двоичной в восьмеричную систему счисления число в двоичной системе необходимо разбить по три цифры (на триады) справа налево, и вместо каждой триады записать восьмеричную цифру соответствующую двоичному коду триады. Например, необходимо перевести 11011110112 в восьмеричную систему счисления, тогда 001 101 111 011 1 5 7 3 Таким образом, 11011110112=15738. Аналогично, при переводе в шестнадцатеричную систему счисления двоичное число разбивается по четыре цифры (на тетрады). Например, переведем 11011110112 в шестнадцатеричную систему счисления. 0011 0111 1011 3 7 11 Таким образом, 11011110112=37В16 . Обратный перевод из восьмеричной или шестнадцатеричной системы счисления в двоичную очень прост, каждая цифра записывается в двоичном коде по триадам или тетрадам. 27 1238 = 1 010 0112 А1716 = 1010 0001 01112 . Для изображения двоичных чисел часто используют двоично- десятичную систему счисления. В этой системе для изображения каждой десятичной цифры отводится тетрада. Например, десятичное число 925 в двоично-десятичной системе запишется в виде 1001 0010 0101. Следует обратить внимание, что эта запись отличается от двоичного изображения данного числа. Например, приведенный выше код в двоичной системе изображает число 234110. |