SHPORA.net :: PDA

Login:
регистрация

Main
FAQ

гуманитарные науки
естественные науки
математические науки
технические науки
Search:
Title: | Body:

Системы счисления: формула числа, перевод чисел


Позиционные системы счисления

В привычной для нас десятичной системе счисления используют 10

цифр: 0,1,2,…,9 и каждое число представлено как :



m −1

N = ∑ ai10i

i =− s



где i – номер разряда,

a – одна из цифр от 0 до 9,

s – количество разрядов в дробной части числа,

m - количество разрядов в целой части числа.

Например, 405.35=4*102+0*101+5*100+3*10-1+5*10-2

Но десятичная система счисления далеко не единственно возможная.

В общем случае число N в некоторой позиционной системе счисления с

основанием P записывается как

m −1

N = ∑ ai P i ,

i =− s







где a –цифра от 0 до P-1,

P – основание системы счисления.

Позиционными системами счисление называются такие, у которых

вес каждой цифры a зависит от позиции в изображении числа. Так римская

система счисления непозиционная.

Максимальное целое число, которое может быть представлено в m

разрядах:

N max = P m − 1.

Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать

в s разрядах дробной части:

N min = P − s .

Любое число в двоичной системе представляет несколькими

двоичными разрядами, каждый разряд несет информацию равную 1 биту.

Поэтому каждый разряд и называют просто битом. Пример двоичного

числа с дробной частью:

1010.0012=1*23+0*22+1*21+0*20+0*2-1+0*2-2+1*2-3=10.12510.

Недостаток двоичной системы – слишком громоздкая запись.

Например,

17310=10101101.



Итак, выше приведены примеры перевода чисел из двоичной,

восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную.

Алгоритм обратного перевода заключается в следующем. Число в

десятичной системе счисления последовательно делится на основание

системы счисления, в которую надо переводить. В качестве цифр нового

представления берутся остатки от деления в обратном порядке, начиная с

младшего остатка.

Для перевода дробных частей десятичных чисел используют

следующий алгоритм. Число в десятичной системе счисления необходимо

последовательно умножать на основание системы счисления, в которую

надо переводить. Причем умножать надо только очередную дробную

часть, игнорируя возникающие целые части. В качестве цифр берутся

целые части результатов умножения. Так происходит до тех пор, пока

дробная часть не станет равной нулю или не достигается заданная

точность.

На рис.4 приведен пример перевода 0.62510 в двоичную систему

счисления.

0.625

* 2

1.250

* 2

0.500

* 2

1.000





Рис.4

Таким образом, 0.62510=0.1012.

Для перевода из двоичной в восьмеричную систему счисления

число в двоичной системе необходимо разбить по три цифры (на триады)

справа налево, и вместо каждой триады записать восьмеричную цифру

соответствующую двоичному коду триады. Например, необходимо

перевести 11011110112 в восьмеричную систему счисления, тогда

001 101 111 011

1 5 7 3

Таким образом, 11011110112=15738.

Аналогично, при переводе в шестнадцатеричную систему счисления

двоичное число разбивается по четыре цифры (на тетрады). Например,

переведем 11011110112 в шестнадцатеричную систему счисления.

0011 0111 1011

3 7 11

Таким образом, 11011110112=37В16 .

Обратный перевод из восьмеричной или шестнадцатеричной

системы счисления в двоичную очень прост, каждая цифра записывается в

двоичном коде по триадам или тетрадам.





27





1238 = 1 010 0112

А1716 = 1010 0001 01112 .

Для изображения двоичных чисел часто используют двоично-

десятичную систему счисления. В этой системе для изображения каждой

десятичной цифры отводится тетрада. Например, десятичное число 925 в

двоично-десятичной системе запишется в виде 1001 0010 0101. Следует

обратить внимание, что эта запись отличается от двоичного изображения

данного числа. Например, приведенный выше код в двоичной системе

изображает число 234110.