SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

3.Свойства пределов последовательности: теорема о единственности предела,

необходимый признак сходимости, достаточный признак сходимости. Арифметические

действия над пределами.

1) Если последовательность (аn) имеет конечный предел, то он единственный, т.е.

последовательность имеет только один конечный предел.

2) Если последовательность (аn) имеет предел, то она ог¬раничена, то есть при

всех n N выполняется неравенство , n = 1,2,3,…(Данное свойство является

толь¬ко необходимым условием существования предела последо¬вательности

(необходимым признаком сходимости).

3) Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. Это

свойство является достаточным условием существо¬вания предела последовательности

(достаточным признаком сходимости).

4) Если и для любых n ∈N члены последовательностей равны: аn = bn , то а = b.

5)Если и для любых n ∈ N выполняется неравенство .

6)Если члены последовательностей a n, bn, сn при любых n ∈ N удовлетворяют

неравенствам аn bn сn и , то и последовательность (bn ) имеет тот же

предел а:

Арифметические операции над пределами

Теорема 1. Если последовательности an и bn имеют конечные пределы: то сумма их

также имеет конечный предел: .

Теорема 2. Если последовательности аn и bn имеют конечные пределы: то

произведение их также имеет конечный предел:

Теорема 3. Если последовательности аn и bn имеют конечные пределы: причем , то

отношение их также имеет конечный предел:

Теорема 4. Если при любых n N , то есть предел постоянной равен постоянной.

Теорема 5. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Теорема 6. Если последовательность (аn) имеет конеч¬ный предел: то предел

степени равен степени предела:

Теорема 7. Если последовательности аn и bn имеют конечные пределы: то

Число e, натуральные логарифмы.

Число е – иррациональное число, которое играет важную роль в математическом

анализе. Приведем его значение с десятью верными знаками после запятой:

е=2,7182818284… .

Натуральным логарифмом называется loge(x) и обозначается ln(x).

Формула перехода от произвольного логарифма к натуральному: .