SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

5. Теоремы о функциях, имеющих предел в точке: о необходимом и достаточном

условиях существования предела; об ограниченности, о сохранении знака, о

предельном переходе в неравенствах, о пределе промежуточной функции.

Т1. Если функция у = f(х) при x→x0 имеет предел а, то в некоторой окрестности

этой точки ее можно пред-ставить как сумму предела а и бесконечно малой

величины. (необходимое условие)

Т 2. Если в окрестности точки х0 некоторую функцию f(х) можно представить, как

сумму постоянного чис¬ла a и бесконечно малой величины, то постоянное число а

есть предел этой функции при x→x0 (достаточное условие)

Следствие. (О сохранении знака) Если функция имеет предел в точке х0, то

значения функции f(х) в некоторой окрестности точки х0 имеют тот же знак, что и

f(х0), то есть они положительны если f(х0)>0 и отрицательны, если f(х0)<0.

Т3. Если функция имеет предел, то она ограничена.

Т4. Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно больших значениях

x) функция f(x) заключена между двумя функциями , имеющими одинаковый предел A

при x→x0 (или ), то функция f(x) имеет тот же предел A.

Т5. Если в некоторой окрестности точки x0 (или при достаточно больших x) , то