SHPORA.net :: PDA

Login:
регистрация

Main
FAQ

гуманитарные науки
естественные науки
математические науки
технические науки
Search:
Title: | Body:

8


8. Теорема о необходимом. и достаточном условиях непрерывности функции в точке.

Непрерывность сложной функции.

Теорема о необходимом и достаточном условиях непрерывности функции в точке.

Функция y=f(x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда бесконечно

малому приращению аргумента Δx соответствует бесконечно малое приращение функции

Δy

Определение (2) непрерывности функции в точке: функция y=f(x) непрерывна в точке

x0, если она определена в какой-нибудь окрестности этой точки и предел функции

при x → x0 существует и равен значению функции при x = x0: .

Непрерывность сложной функции

Если функция g(y):Y → R непрерывна в точке b ∈ Y, а функция f(x):X Y

непрерывна в точке a ∈ X, и f(a) = b, тогда композиция g f также непрерывна в

точке a.

О сохранении знака.

Заметим, что если функция f(x) в точке x0 непрерывна и , то значения функции

f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеют тот же знак, что и f(x0).

Определение. Функция является непрерывной в интервале, если она непрерывна в

каждой его точке.

Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она

определена.

Действия над непрерывными функциями. Если над непрерывными функциями произвести

конечное число арифметических действий или операций взятия функции, то в

результате получится, также непрерывная функция.

Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она

непрерывна в интервале (a;b) и непрерывна на концах отрезка соответственно

справа и слева: и .