SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

17.Теорема Ферма, ее геометрический смысл. Необходимое условие существования

экстремума.

Функция f(x) имеет в точке x0 максимум (max), если для всех x из некоторой

окрестности точки x0 выполняется неравенство

Функция f(x) имеет в точке x0 минимум (min), если для всех x из некоторой

окрестности точки x0 выполняется неравенство .

Минимум и максимум функции объединяются общим названием экстремум функции.

Теорема Ферма (необходимое условие существования экстремума функции).

Пусть функция y=f(x) непрерывна в некотором интервале (a;b), и x0–внутренняя

точка этого интервала. Если f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке

экстремум, то производная ее в точке экстремума равна нулю: (1)

Геометрический смысл теоремы Ферма. Так как f’(x0)– угловой коэффициент

касательной, проведенной к графику f(x) в точке x0 , то из теоремы Ферма

следует, что касательная, проведенная к графику в точке экстремума

дифференцируемой функции, параллельна оси абсцисс (Рис. 1). Точки, в которых для

функции f(x) выполняется условие f’(x0)=0 или f’(x0) не существует называются

критическими точками функции на экстремум.

Теорема (необходимый признак локального экстремума). Если функция y=f(x) имеет

в точке x=x0 экстремум, то либо f’(x0)=0 или f’(x0) не существует