SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

18. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (геометр. иллюстр.).

Теорема Ролля (о нулях производной). Если функция y=f(x)

1)непрерывна на отрезке[a;b], 2)дифференцируема, по крайней мере в интервале

(a;b)

3) f(a)=f(b), значения функции на концах отрезка равны между собой,

то в интервале (a;b) найдется хотя бы одна точка x=c (a<c<b), такая, что

f’(c)=0.

Геометрический смысл теоремы Ролля. Если на отрезке [a;b] для функции f(x)

выполняются все условия теоремы, то на дуге AB найдется точка, в которой

касательная к графику параллельна оси абсцисс (Рис. 1). Заметим, что таких точек

может быть, вообще говоря, несколько.

Теорема Лагранжа (о конечных приращениях). Если функция y=f(x)

1)непрерывна на отрезке [a;b],; 2)дифференцируема, по крайней мере, в интервале

(a;b); тогда в интервале (a;b) найдется точка x=c такая, что (2) Эта формула

называется формулой Лагранжа конечных приращений.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. В формуле (2) f’(c) – угловой коэффициент

касательной, проведенной к графику в точке с абсциссой с, - угловой коэффициент

хорды AB. То есть, если для функции f(x) на отрезке [a;b] выполняются условия

теоремы Лагранжа, то на дуге AB найдется точка, касательная в которой

параллельна хорде, стягивающей концы дуги (Рис.2).

Рис.2

Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных приращениях). Если функции f(x) и

g(x)

1)непрерывны на отрезке[a;b]; 2) дифференцируемы, по крайней мере, в интервале

(a;b) , 3) в интервале (a;b), то в интервале (a;b) найдется точка х=с такая,

что

.