SHPORA.net :: PDA

Login:
регистрация

Main
FAQ

гуманитарные науки
естественные науки
математические науки
технические науки
Search:
Title: | Body:

20


20. Экстремум функции. Достаточные условия существования экстремума функции (I и

II правила).

Точка x1 называется точкой локального максимума (минимума) функции y=f(x), если

для любых достаточно малых справедливо неравенство . Точки максимума и

минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции –

ее экстремальными значениями

Необходимое условие существования экстремума функции

Если в точке x0 функция имеет экстремум, то производная ее в этой точке:

f’(x0)=0 или f’(x0) не существует

Точки, в которых для функции выполняется необходимое условие существования

экстремума, называются критическими точками на экстремум.

Для отыскания экстремумов функции находят все критические точки, а затем

исследуют каждую из них (в отдельности) с целью выяснения, будет ли в этой точке

максимум или минимум, или же экстремума в ней нет.

Достаточные условия существования экстремума.

Теорема 1. (первый достаточный признак локального экстремума). Пусть функция

y=f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точкуx=x0, и

дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки

x0). Если при x<x0 положительна, а при x>x0 отрицательна, то при x=x0 данная

функция имеет максимум.

Если же f’(x) при x<x0 отрицательна, а при x>x0 положительна, то при x=x0 данная

функция имеет минимум.

Теорема 2 (второй достаточный признак локального экстремума функции). Пусть

функция y=f(x) дважды дифференцируема и f’(x0)=0. Тогда в точке x=x0 функция

имеет локальный максимум, если и локальный минимум, если .

В случае, когда , точка x=x0 может и не быть экстремальной.