SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки 20 20. Экстремум функции. Достаточные условия существования экстремума функции (I и II правила). Точка x1 называется точкой локального максимума (минимума) функции y=f(x), если для любых достаточно малых справедливо неравенство . Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями Необходимое условие существования экстремума функции Если в точке x0 функция имеет экстремум, то производная ее в этой точке: f’(x0)=0 или f’(x0) не существует Точки, в которых для функции выполняется необходимое условие существования экстремума, называются критическими точками на экстремум. Для отыскания экстремумов функции находят все критические точки, а затем исследуют каждую из них (в отдельности) с целью выяснения, будет ли в этой точке максимум или минимум, или же экстремума в ней нет. Достаточные условия существования экстремума. Теорема 1. (первый достаточный признак локального экстремума). Пусть функция y=f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точкуx=x0, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки x0). Если при x<x0 положительна, а при x>x0 отрицательна, то при x=x0 данная функция имеет максимум. Если же f’(x) при x<x0 отрицательна, а при x>x0 положительна, то при x=x0 данная функция имеет минимум. Теорема 2 (второй достаточный признак локального экстремума функции). Пусть функция y=f(x) дважды дифференцируема и f’(x0)=0. Тогда в точке x=x0 функция имеет локальный максимум, если и локальный минимум, если . В случае, когда , точка x=x0 может и не быть экстремальной. |