SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

21. Выпуклость и вогнутость кривых. Точки перегиба. Схема полного исследования

функции.

Кривая, заданная функцией y=f(x), называется выпуклой в интервале (a,b), если

все точки кривой лежат ниже любой ее касательной в этом интервале, и вогнутой в

интервале (a,b), если все ее точки лежат выше любой ее касательной в этом

интервале.

Точка кривой M(x0,f(x0)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется

точкой перегиба кривой. Предполагается, что в точке M существует касательная.

Теорема 3 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции). Если

во всех точках интервала (a,b) вторая производная функции y=f(x) отрицательна

(положительна), т.е. , то кривая в этом интервале выпукла (вогнута).

В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости,

вторая производная функции изменяет свой знак, поэтому в таких точках вторая

производная функции или обращается в нуль, или не существует.

Теорема 4 (достаточный признак перегиба). Если в точке x=x0 или не

существует и при переходе через эту точку производная меняет знак, то точка с

абсциссой x=x0 кривой y=f(x) - точка перегиба.

Теорема 5 (необходимое условие существования точки перегиба)

Пусть функция y=f(x) непрерывна в интервале (a,b), x0- внутренняя точка (a,b).

Если точка x0 является точкой перегиба графика f(x), то в этой точке: либо 1)

(точка перегиба с вертикальной касательной); либо 2) ( точка перегиба с

наклонной касательной).

Необходимые условия существования точки перегиба с горизонтальной касательной :

1) ;2) .

Схема полного исследования функции и построение ее графика

I. 1. Область определения функции

Четность или нечетность, симметрия графика

Точки разрыва функции, интервалы непрерывности.

Асимптоты графика: вертикальные, наклонные, горизонтальные.

Точки пересечения графика с осями координат.

II. Интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции.

Ш. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Построение графика.