SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

25. Плоские точечные множества. Понятие функции двух переменных и функции

нескольких переменных. Область определения, график функции двух переменных.

Множество точек на¬зывается плоским, если все его точки принадлежат одной

плоскости.

Круг радиуса с цент¬ром в точке М0 называется -окрестностью точки М0 и

обозначается U(М0; ). Точка М(х; у) называется внутренней точкой мно¬жества Е,

если она входит в это множество вместе со сколь угодно малой окрес¬тностью.

Плоское множество, состо¬ящее только из внутренних то¬чек, называется открытым

множеством, например, круг без окружности:

х2 + у2<R2 (рис.2).

Точка Р(х; у) (рис.1) на¬зывается граничной точкой множества Е, если в ее сколь

угодно малой окрестности имеются точки как принадлежащие, так и не принадлежащие

множеству Е.

Совокупность всех граничных точек множества (области)называется границей

области. Открытое множество вместе с границей образует замкну¬тую область.

Плоское множество называется ограниченным, если его можно полностью поместить в

круг конечного радиуса с цен¬тром в начале координат. В противном случае

множество на¬зывается неограниченным.

2. Функции двух переменных.

Если каждой точке М(х; у) плоского множества Е по некоторому закону можно

поставить в соот-ветствие вполне определенное число z из множества Z, то z

называется функцией двух независимых переменных х и уz=f(x;y).

Областью определения функции двух переменных называется множество всех

допустимых упоря¬доченных пар чисел х и у, при которых функция z принимает

действительные значения.

Графическое изображение функции двух перемен¬ных.

Пусть на плоском множестве E определена функция двух переменных z=f(x;y)

Возьмем пространственную систему координат Oxyz и в плоскости хОу построим

плоское множество Е (рис.3).

На перендикулярах, восстановленных из точек Pi, отложим величины xi, yi, zi.

Получим геометрическое место точек в пространстве, образующее некоторую

поверхность. Эта поверхность и является графиком функции двух переменных.

Отметим, что третья координата точки в пространстве zi называется аппликатой.

Чаще применяют метод сечений: полагая поочередно в уравнении (1) х =0, у = 0, z

=0, получают сечения соответственно в плоскостях уОz, хОz, хОу. По этим сечениям

строится поверхность - график функции (1).