SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

26. Предел и непрерывность функции нескольких переменных; функции двух

переменных.

Число А называется пределом функ¬ции f(х;у) в точке М0(х0;.у0), если для любой

последовательности точек {Мn(хn;уn)}, сходящейся к точке M0 (x0;y0),

последовательность соответствующих значений функции {f(хn;уn)}сходится к числу

А.

Функция z=f(x;y) называется непрерывной в точке М0(х0;у0), если существует

предел функции в точке М0(х0;у0), равный ее значению в этой точке: Если хотя бы

одно из условий непрерывности функции в точке М0(х0; у0) не выполняется, то

точка М0(х0;у0) называет¬ся точкой разрыва функции f(x;y).

Частные приращения и полное приращение. Рас¬смотрим функцию z=f(x;y),

определенную на плоском множестве Е и внутреннюю точку

М0(х0; у0) этого множе¬ства. Вычислим значение функции в точке М0(х0; у0). Если

аргумент у оставить без изменения, а аргументу х дать при¬ращение , так чтобы

новая точка также была внутренней точкой множества Е, то функция z=f(x;y)

получит частное приращение по х: .

Если, оставив аргумент х без изменения, аргументу y дать приращение , то

функция z=f(x;y) получит частное при¬ращение по у:

Пусть теперь оба аргумента х и у получат соответствен¬но приращения и .

Тогда функция z получит полное приращение:

Отметим, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных

приращений: .

Теперь определение непрерывности функции двух переменных в точке можно

сформулировать так: функция z=f(x;y) называется непрерывной в точке М0(х0; у0),

если бесконечно малым приращениям независимых переменных и соответствует

бесконечно малое приращение функции: