SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

39. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признак

сравнения. Признак Даламбера, алгебраический признак Коши, интегральный признак

Коши.

Теорема (признак сравнения). Даны два ряда с положительными членами: и

, если при любом n un ≤ vn ,то, если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1;

если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

геометрический ряд - сходится при |q| < 1, расходится при |q| ≥ 1 ;

гармонический ряд - расходится; обобщенный гармонический ряд

сходится при α>1, расходится при α≤1

Теорема (предельный признак сравнения). Если и , ряды с положительными

членами и существует конечный предел отношения их общих членов , то

ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Признак Даламбера, алгебраический признак Коши, интегральный признак Коши.

Теорема (признак Даламбера). Для ряда с положительными членами

существует . Если l<1, то ряд сходится; если l>1, то ряд расходится;

если l=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Радикальный(алгебраический) признак Коши

Пусть дан ряд , члены которого положительны, такой что . Тогда ряд

сходится, если l<1; расходится, если l>1. При l=1 вопрос о сходимости ряда

остается открытым.

Теорема (интегральный признак сходимости). Пусть дан ряд , члены которого

положительны и не возрастают,

т.е. и1 ≥ и2 ≥ …≥ иn ≥ …, а функция f(х), определенная при х ≥ 1,

непрерывная и невозрастающая и

f(1) = u1, f(2)=u2, …, f(n)=un, … . (13)

Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился

несобственный интеграл . Если расходится несобственный интеграл , то

расходится ряд .