SHPORA.net :: PDA

Login:
регистрация

Main
FAQ

гуманитарные науки
естественные науки
математические науки
технические науки
Search:
Title: | Body:

41


41. Основные понятия и определения. Понятие общего и частного решений,

геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связы¬вающее искомую функцию

одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков

данной функции. F(x,y,y', ..., y(n)) = 0

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида , которая

при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка имеет следующую

формулировку. Найти решение (интеграл Ф(x,y)=0) дифференциального уравнения (1)

или (2), удовлетворяющее начальному условию (Ф(x0, y0)=0).

С геометрической точки зрения это означает, что среди всех интегральных линий

данного уравнения необходимо найти ту, которая проходит через заданную точку

М0(x0, y0).

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения (2) состоит в том, что

оно в каждой точке М(х, у), принадлежащей области D, в которой выполняются все

условия теоремы 2 (Коши),

задает направление у' = tg = k касательной к единственной интеграль¬ной линии

уравнения (2), проходящей через точку М(х, у), т. е. поле направлений в области

D (рис. 1).

В области D для уравнения (2) можно выделить однопараметрическое семейство линий

f(x, у) = k = const, каждая из которых называется изоклиной.

Как следует из определения, вдоль каждой изоклины поле направлений постоянно, т.

е. у' = k = const.