SHPORA.net :: PDA | |
Main FAQ гуманитарные науки естественные науки математические науки технические науки 41 41. Основные понятия и определения. Понятие общего и частного решений, геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связы¬вающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции. F(x,y,y', ..., y(n)) = 0 Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида , которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество. Геометрическая интерпретация решения дифференциального уравнения. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка имеет следующую формулировку. Найти решение (интеграл Ф(x,y)=0) дифференциального уравнения (1) или (2), удовлетворяющее начальному условию (Ф(x0, y0)=0). С геометрической точки зрения это означает, что среди всех интегральных линий данного уравнения необходимо найти ту, которая проходит через заданную точку М0(x0, y0). Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения (2) состоит в том, что оно в каждой точке М(х, у), принадлежащей области D, в которой выполняются все условия теоремы 2 (Коши), задает направление у' = tg = k касательной к единственной интеграль¬ной линии уравнения (2), проходящей через точку М(х, у), т. е. поле направлений в области D (рис. 1). В области D для уравнения (2) можно выделить однопараметрическое семейство линий f(x, у) = k = const, каждая из которых называется изоклиной. Как следует из определения, вдоль каждой изоклины поле направлений постоянно, т. е. у' = k = const. |