SHPORA.net :: PDA

[ Back ]

42.Теорема существования и единственности частного решения. Дифференциальные

уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть дано дифференциальное уравнение y ‘= f(x;y), где функция f(x;y) определена

на некотором плоском множестве E, содержащим точку M0(x0;y0). Eсли функция

f(x,y) удовлетворяет следующим условиям: 1)f(x;y) - непрерывная функция двух

переменных x и y на множестве E; 2) f(x,y) имеет непрерывную частную производную

f ‘ (x,y) , то существует единственное решение y=φ(x) данного уравнения,

удовлетворяющее начальному условию y|x=x0=y0= φ(x0)/

Задачу нахождения решения уравнения y ’=f(x;y), удовлетворяющего начальному

условию y(x0)=y0? называют задачей Коши. Геометрические это означает, что

ищется интегральная кривая проходящая через заданную точку М0(х0;у0) плоскости

хОу.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с

разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде 8 или в

виде

где f(x), M(x), P(x) - некоторые функции переменной х, g(y), N(y), Q(y) -

функции переменной у.

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором

дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а

переменной у - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного

равенства. Например, из (8) следует, что и